Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ющееся: d Φ(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)=0. Отсюда
Φ( t, x
1
,x
2
, ... , x
n
)=C. (12.9)
Данное выражение называется первым интегралом системы (12.4).
Другими словами, первым интегралом Φ(t, x
1
,x
2
, ... , x
n
)=
C системы (12.4) называется соотношение, обращающееся в
тождество при некотором C, если x
1
,x
2
, ... , x
n
заменить
решением x
1
= ϕ
1
(t),x
2
= ϕ
2
(t), ... , x
n
= ϕ
n
(t) системы
(12.4).
Часто под первым интегралом понимают левую часть ра-
венства (12.9) как функцию, не равную тождественно посто-
янной, но сохраняющую постоянные значения вдоль интеграль-
ных кривых системы (12.4).
Если найдено s интегрируемых комбинаций, то может
быть получено s первых интегралов Φ
1
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)=C
1
,
Φ
2
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)=C
2
, ..., Φ
s
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)=C
s
, и ес-
ли эти первые интегралы функционально независимы, то есть
D(Φ
1
, Φ
2
, ..., Φ
s
)
D(x
j
1
,x
j
2
, ..., x
j
s
)
=0, то s независимых функций из набора
x
1
,x
2
, ... , x
n
можно выразить через остальные и, подставляя
их в систему (12.4), придем к системе уравнений с меньшим
числом неизвестных. При s = n, а также когда все интегралы
независимы, все неизвестные функции могут быть определены
из системы Φ
1
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)=C
1
, Φ
2
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)==
C
2
, ..., Φ
n
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)=C
n
.
Систему (12.4) иногда удобно представить в виде
dx
1
f
1
(t, x)
=
dx
2
f
2
(t, x)
= ... =
dx
n
f
n
(t, x)
=
dt
1
.
92
ющееся: d Φ(t, x1, x2, ..., xn) = 0. Отсюда

                      Φ( t, x1, x2, ... , xn ) = C.                (12.9)

Данное выражение называется первым интегралом системы (12.4).
     Другими словами, первым интегралом Φ(t, x1, x2, ... , xn) =
C системы       (12.4) называется соотношение, обращающееся в
тождество при некотором C, если x1, x2, ... , xn заменить
решением x1 = ϕ1(t), x2 = ϕ2(t), ... , xn = ϕn(t) системы
(12.4).
     Часто под первым интегралом понимают левую часть ра-
венства (12.9) как функцию, не равную тождественно посто-
янной, но сохраняющую постоянные значения вдоль интеграль-
ных кривых системы (12.4).
     Если найдено s интегрируемых комбинаций, то может
быть получено s первых интегралов Φ1(t, x1, x2, ..., xn) = C1,
Φ2(t, x1, x2, ..., xn) = C2, ...,   Φs(t, x1, x2, ..., xn) = Cs,   и ес-
ли эти первые интегралы функционально независимы, то есть
 D(Φ1, Φ2, ..., Φs)
                         = 0, то s независимых функций из набора
D(xj1 , xj2 , ..., xjs )
 x1, x2, ... , xn можно выразить через остальные и, подставляя
их в систему (12.4), придем к системе уравнений с меньшим
числом неизвестных. При s = n, а также когда все интегралы
независимы, все неизвестные функции могут быть определены
из системы Φ1(t, x1, x2, ..., xn) = C1,       Φ2(t, x1, x2, ..., xn) = =
C2, ..., Φn(t, x1, x2, ..., xn) = Cn.
     Систему (12.4) иногда удобно представить в виде
                dx1      dx2              dxn     dt
                      =         = ... =          = .
              f1(t, x) f2(t, x)         fn(t, x)  1
                                    92

Страницы