Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Эта система может быть записана в матричной форме
dX
dt
= AX + F, (13.1
∗
)
где
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
11
(t) a
12
(t) ... a
1n
(t)
a
21
(t) a
22
(t) ... a
2n
(t)
.................................
a
n1
(t) a
n2
(t) ... a
nn
(t)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,X =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1
(t)
x
2
(t)
........
x
n
(t)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,F =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
f
1
(t)
f
2
(t)
........
f
n
(t)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Если все f
i
(t) ≡ 0, то есть матрица-столбец F (t) ≡ 0, система
называется однородной.При F (t) =0, то есть когда хотя бы
одна f
i
(t) =0, система называется неоднородной.
Введём в рассмотрение линейный оператор
L ()
def
=
d
dt
− A. (13.2)
Тогда систему уравнений (13.1
∗
) можно записать в виде
L (X)=0 для однородной системы и L (X)=F (t) для неод-
нородной.
Рассмотрим некоторые свойства оператора L().
Свойство 1. Оператор L()линеен: L (C
1
X
1
+ C
2
X
2
)=
= C
1
L(X
1
)+C
2
L(X
2
).
Действительно,
d
dt
(C
1
X
1
+ C
2
X
2
)−A (C
1
X
1
+ C
2
X
2
)=
= C
1
dX
1
dt
− AX
1
+ C
2
dX
2
dt
− AX
2
= C
1
L(X
1
)+C
2
L(X
2
).
Свойство 2. Линейная комбинация
m
s=1
C
s
X
s
с посто-
янными коэффициентами решений X
1
,X
2
, ... , X
s
линейной
однородной системы также является решением этой системы
дифференциальных уравнений.
94
Эта система может быть записана в матричной форме
                                    dX
                                        = AX + F,                                            (13.1∗)
                                     dt
где
       ⎛                                       ⎞          ⎛              ⎞          ⎛              ⎞
       ⎜
       ⎜
           a11(t) a12(t) ... a1n(t)            ⎟
                                               ⎟
                                                          ⎜
                                                          ⎜
                                                              x1(t)      ⎟
                                                                         ⎟
                                                                                    ⎜
                                                                                    ⎜
                                                                                        f1(t)      ⎟
                                                                                                   ⎟
       ⎜                                       ⎟          ⎜              ⎟          ⎜              ⎟
       ⎜                                       ⎟          ⎜              ⎟          ⎜              ⎟
       ⎜
       ⎜   a21(t) a22(t) ... a2n(t)            ⎟
                                               ⎟
                                                          ⎜
                                                          ⎜   x2(t)      ⎟
                                                                         ⎟
                                                                                    ⎜
                                                                                    ⎜   f2(t)      ⎟
                                                                                                   ⎟
 A=    ⎜
       ⎜
                                               ⎟
                                               ⎟   ,X =   ⎜
                                                          ⎜
                                                                         ⎟
                                                                         ⎟   ,F =   ⎜
                                                                                    ⎜
                                                                                                   ⎟
                                                                                                   ⎟   .
       ⎜   .................................   ⎟          ⎜   ........   ⎟          ⎜   ........   ⎟
       ⎜                                       ⎟          ⎜              ⎟          ⎜              ⎟
       ⎜                                       ⎟          ⎜              ⎟          ⎜              ⎟
       ⎝                                       ⎠          ⎝              ⎠          ⎝              ⎠
           an1(t) an2(t) ... ann (t)                          xn(t)                     fn(t)
Если все fi(t) ≡ 0, то есть матрица-столбец F (t) ≡ 0, система
называется однородной. При F (t) = 0, то есть когда хотя бы
одна fi(t) = 0, система называется неоднородной.
      Введём в рассмотрение линейный оператор
                                               def   d
                                    L( ) =              − A.                                  (13.2)
                                                     dt
      Тогда систему уравнений (13.1∗) можно записать в виде
L (X) = 0 для однородной системы и L (X) = F (t) для неод-
нородной.
      Рассмотрим некоторые свойства оператора L( ).
      Свойство 1. Оператор L( ) линеен: L (C1X1 + C2X2) =
= C1L(X1) + C2L(X2).
      Действительно,    d (C X + C X )−A (C X + C X ) =
                 
                        dt 1 1 2 2         1 1   2 2

= C1 dX
      dt
         1 − AX
               1   + C2
                        dX2 − AX = C L(X ) + C L(X ).
                         dt     2     1    1    2   2
                                        m
                                        
    Свойство 2. Линейная комбинация       CsXs с посто-
                                                                    s=1
янными коэффициентами решений X1,                                 X2, ...      , Xs линейной
однородной системы также является решением этой системы
дифференциальных уравнений.
                                                   94

Страницы