Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

составим квадратную матрицу
W (t)=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
11
x
12
... x
1n
x
21
x
22
... x
2n
........................
x
n1
x
n2
... x
nn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
которая называется матрицей Вронского. Здесь, как всегда, пер-
вый индекс обозначает строку, а второй — столбец. Определи-
тель этой матрицы называется определителем Вронского или
вронскианом.
Теорема 1 (о линейной зависимости системы решений).
Если определитель Вронского решений X
1
,X
2
, ... , X
n
одно-
родной системы линейных дифференциальных уравнений с непре-
рывными на сегменте [ a, b ] коэффициентами a
ik
(t) ра-
вен нулю хотя бы в одной точке t
0
∈ [ a, b ], то решения
X
1
,X
2
, ... , X
n
линейно зависимы на [ a, b ] и, следователь-
но, det W (t) ≡ 0 на [ a, b ].
Доказательство. Вследствие непрерывности коэффици-
ентов a
ik
(t), выполняется теорема существования и единствен-
ности решения для системы дифференциальных уравнений. Сле-
довательно, начальное значение X(t
0
)=0 определяет един-
ственное решение X(t) ≡ 0 однородной системы.
Поскольку det W (t
0
)=0, то существует такая система
постоянных C
1
,C
2
, ... , C
n
, среди которых хотя бы одна C
i
отлична от нуля, что
C
1
X
1
(t
0
)+C
2
X
2
(t
0
)+... + C
n
X
n
(t
0
)=0, (13.3)
96
     составим квадратную матрицу
                             ⎛                              ⎞
                             ⎜
                             ⎜
                                 x11 x12 ... x1n        ⎟
                                                        ⎟
                             ⎜                          ⎟
                             ⎜                          ⎟
                             ⎜                          ⎟
                             ⎜
                             ⎜   x21 x22 ... x       2n ⎟
                                                        ⎟
                             ⎜                          ⎟
                   W (t) =   ⎜
                             ⎜
                                                        ⎟
                                                        ⎟       ,
                             ⎜                          ⎟
                                 ........................
                             ⎜                          ⎟
                             ⎜                          ⎟
                             ⎜                          ⎟
                             ⎜                          ⎟
                             ⎝                          ⎠
                                 xn1 xn2 ... xnn

которая называется матрицей Вронского. Здесь, как всегда, пер-
вый индекс обозначает строку, а второй — столбец. Определи-
тель этой матрицы называется определителем Вронского или
вронскианом.
     Теорема 1 (о линейной зависимости системы решений).
Если определитель Вронского решений X1, X2, ... , Xn одно-
родной системы линейных дифференциальных уравнений с непре-
рывными на сегменте [ a, b ] коэффициентами aik (t) ра-
вен нулю хотя бы в одной точке t0 ∈ [ a, b ], то решения
X1, X2, ... , Xn линейно зависимы на [ a, b ] и, следователь-
но, det W (t) ≡ 0 на [ a, b ].
     Доказательство. Вследствие непрерывности коэффици-
ентов aik (t), выполняется теорема существования и единствен-
ности решения для системы дифференциальных уравнений. Сле-
довательно, начальное значение X(t0) = 0 определяет един-
ственное решение X(t) ≡ 0 однородной системы.
     Поскольку det W (t0) = 0, то существует такая система
постоянных C1, C2, ... , Cn, среди которых хотя бы одна Ci
отлична от нуля, что

            C1X1(t0) + C2X2(t0) + ... + CnXn(t0) = 0,               (13.3)

                                      96

Страницы