Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. L
⎛
⎝
m
s=1
C
s
X
s
⎞
⎠
=
m
s=1
C
s
L (X
s
)
$ %& '
=0
=0.
Свойство 3. Если линейная однородная система имеет
комплексное решение X = U(t)+iV (t), то
U(t)=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
u
1
(t)
u
2
(t)
.......
u
n
(t)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,V(t)=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
v
1
(t)
v
2
(t)
.......
v
n
(t)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
— также решения этой системы.
Доказательство. L(X)=L(U + iV )=L(U)+iL(V )=
=0 ⇒ L(U)=0,L(V )=0, поскольку комплексная вели-
чина равна нулю тогда и только тогда, когда действительная и
мнимая части этой комплексной величины равны нулю. Таким
образом, U и V — решения системы.
Определение. Векторы X
1
,X
2
, ... , X
n
называются ли-
нейно зависимыми на сегменте t ∈ [ a, b ], если существуют
такие постоянные λ
1
,λ
2
, ... , λ
n
, среди которых хотя бы одно
число λ
k
=0, что линейная комбинация λ
1
X
1
+ λ
2
X
2
+ ...+
+λ
n
X
n
=0. Если же это соотношение выполнено тогда и только
тогда, когда все λ
k
=0, то векторы X
1
,X
2
, ... , X
n
линейно
независимы.
Из матриц-столбцов
X
1
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
11
x
21
....
x
n1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,X
2
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
12
x
22
....
x
n2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, ... , X
n
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x
1n
x
2n
....
x
nn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
95
                                      ⎛                 ⎞
                                          m
                                                               m
                                                                
    Доказательство. L ⎝                         CsXs⎠ =              Cs L (Xs) = 0.
                                                                        $ %& '
                                          s=1                  s=1
                                                                              =0
    Свойство 3. Если линейная однородная система имеет
комплексное решение X = U (t) + iV (t), то
                              ⎛             ⎞                   ⎛             ⎞
                              ⎜
                              ⎜
                                  u1(t)     ⎟
                                            ⎟
                                                                ⎜
                                                                ⎜
                                                                    v1(t)     ⎟
                                                                              ⎟
                              ⎜             ⎟                   ⎜             ⎟
                              ⎜             ⎟                   ⎜             ⎟
                              ⎜
                              ⎜   u2(t)     ⎟
                                            ⎟
                                                                ⎜
                                                                ⎜   v2(t)     ⎟
                                                                              ⎟
               U (t) =        ⎜
                              ⎜
                                            ⎟
                                            ⎟   , V (t) =       ⎜
                                                                ⎜
                                                                              ⎟
                                                                              ⎟
                              ⎜   .......   ⎟                   ⎜   .......   ⎟
                              ⎜             ⎟                   ⎜             ⎟
                              ⎜             ⎟                   ⎜             ⎟
                              ⎝             ⎠                   ⎝             ⎠
                                  un(t)                             vn(t)
— также решения этой системы.
    Доказательство. L(X) = L(U + iV ) = L(U ) + iL(V ) =
= 0 ⇒ L(U ) = 0,              L(V ) = 0, поскольку комплексная вели-
чина равна нулю тогда и только тогда, когда действительная и
мнимая части этой комплексной величины равны нулю. Таким
образом, U и V — решения системы.
    Определение. Векторы X1, X2, ... , Xn называются ли-
нейно зависимыми на сегменте t ∈ [ a, b ], если существуют
такие постоянные λ1, λ2, ... , λn, среди которых хотя бы одно
число λk = 0, что линейная комбинация λ1X1 + λ2X2 + ...+
+λnXn = 0. Если же это соотношение выполнено тогда и только
тогда, когда все λk = 0, то векторы X1, X2, ... , Xn линейно
независимы.
    Из матриц-столбцов
               ⎛          ⎞                 ⎛          ⎞                      ⎛          ⎞
               ⎜
               ⎜
                   x11    ⎟
                          ⎟
                                            ⎜
                                            ⎜
                                                x12     ⎟
                                                        ⎟
                                                                              ⎜
                                                                              ⎜
                                                                                  x1n    ⎟
                                                                                         ⎟
               ⎜          ⎟                 ⎜           ⎟                     ⎜          ⎟
               ⎜          ⎟                 ⎜           ⎟                     ⎜          ⎟
               ⎜
               ⎜   x   21 ⎟
                          ⎟
                                            ⎜
                                            ⎜   x    22 ⎟
                                                        ⎟
                                                                              ⎜
                                                                              ⎜   x   2n ⎟
                                                                                         ⎟
        X1 =   ⎜
               ⎜
                          ⎟
                          ⎟   , X2 =        ⎜
                                            ⎜
                                                        ⎟
                                                        ⎟   , ... , Xn =      ⎜
                                                                              ⎜
                                                                                         ⎟
                                                                                         ⎟
               ⎜   ....   ⎟                 ⎜   ....    ⎟                     ⎜   ....   ⎟
               ⎜          ⎟                 ⎜           ⎟                     ⎜          ⎟
               ⎜          ⎟                 ⎜           ⎟                     ⎜          ⎟
               ⎝          ⎠                 ⎝           ⎠                     ⎝          ⎠
                   xn1                          xn2                               xnn

                                                95

Страницы