Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

что эквивалентно системе алгебраических уравнений
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
C
1
x
11
(t
0
)+C
2
x
12
(t
0
)+ ... + C
n
x
1n
(t
0
)=0,
C
1
x
21
(t
0
)+C
2
x
22
(t
0
)+ ... + C
n
x
2n
(t
0
)=0,
...................................................................
C
1
x
n1
(t
0
)+C
2
x
n2
(t
0
)+ ... + C
n
x
nn
(t
0
)=0
с определителем равным нулю. Соответствующее этой нетриви-
альной системе постоянных C
1
,C
2
, ... , C
n
решение X(t)=
n
i=1
C
i
X
i
(t) в силу (13.3) удовлетворяет начальному условию
X(t
0
)=0. Но тогда X(t) ≡ 0, и мы на всём сегменте [a, b]
имеем X(t)=
n
i=1
C
i
X
i
(t) ≡ 0, при этом хотя бы одна из C
i
отлична от нуля. Это означает линейную зависимость на [a, b]
системы решений X
1
,X
2
, ... , X
n
. Теорема доказана.
Теорема 2(об общем решении линейной однородной систе-
мы.) Линейная комбинация
n
i=1
C
i
X
i
(t) с произвольными по-
стоянными n линейно независимых решений X
i
(t)(i =
1, 2, ..., n) однородной системы линейных уравнений с непрерыв-
ными на сегменте [a, b] коэффициентами a
ik
(t) является
общим решением этой системы дифференциальных уравнений.
Доказательство. Покажем, что какое бы частное реше-
ние, отвечающее начальным значениям
∗
X
(t
0
)=
∗
X
0
(то есть
∗
x
1
(t
0
)=
∗
x
10
,
∗
x
2
(t
0
)=
∗
x
20
, ... ,
∗
x
n
(t
0
)=
∗
x
n0
, ), ни взять, всегда
найдутся такие
∗
C
i
, что
∗
X
(t)=
n
i=1
∗
C
i
X
i
(t). (Иначе гово-
ря, надо показать, что подбором постоянных C
i
в решении
X(t)=
n
i=1
C
i
X
i
(t) можно удовлетворить любым произвольно
выбранным начальным условиям X(t
0
)=X
0
. )
В силу теоремы существования и единственности решения,
97
что эквивалентно системе алгебраических уравнений
           ⎧
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎪
                C1 x11(t0) + C2 x12(t0) + ... + Cn x1n(t0) = 0,
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎨    C1 x21(t0) + C2 x22(t0) + ... + Cn x2n(t0) = 0,
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎪    ...................................................................
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎩    C1 xn1(t0) + C2 xn2(t0) + ... + Cn xnn(t0) = 0
с определителем равным нулю. Соответствующее этой нетриви-
альной системе постоянных C1, C2, ... , Cn решение X(t) =
n

      CiXi(t)      в силу (13.3) удовлетворяет начальному условию
i=1
X(t0) = 0. Но тогда X(t) ≡ 0, и мы на всём сегменте [a, b]
                          n
                          
имеем X(t) =                    CiXi(t) ≡ 0, при этом хотя бы одна из Ci
                          i=1
отлична от нуля. Это означает линейную зависимость на [a, b]
системы решений X1, X2, ... , Xn. Теорема доказана.
       Теорема 2(об общем решении линейной однородной систе-
                                                  n
                                                  
мы.) Линейная комбинация                               CiXi(t) с произвольными по-
                                               i=1
стоянными             n       линейно независимых решений                             Xi(t) (i =
1, 2, ..., n) однородной системы линейных уравнений с непрерыв-
ными на сегменте [a, b] коэффициентами aik (t) является
общим решением этой системы дифференциальных уравнений.
       Доказательство. Покажем, что какое бы частное реше-
                                                                    ∗             ∗
ние, отвечающее начальным значениям X (t0) = X0 (то есть
 ∗        ∗    ∗        ∗          ∗        ∗
x1(t0) = x10, x2(t0) = x20, ... , xn(t0) = xn0, ), ни взять, всегда
                                ∗             ∗            n
                                                               ∗
найдутся такие Ci, что X (t) =        Ci Xi(t). (Иначе гово-
                                  i=1
ря, надо показать, что подбором постоянных Ci в решении
           n
           
X(t) =           Ci Xi(t) можно удовлетворить любым произвольно
          i=1
выбранным начальным условиям X(t0) = X0. )
       В силу теоремы существования и единственности решения,

                                                  97

Страницы