Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

это требование эквивалентно тому, что должно быть удовлетво-
рено векторное уравнение
n
i=1
C
i
X
i
(t
0
)=X
0
, где C
i
считаются
неизвестными величинами, или подробно
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
C
1
x
11
(t
0
)+C
2
x
12
(t
0
)+ ... + C
n
x
1n
(t
0
)=
0
x
1
,
C
1
x
21
(t
0
)+C
2
x
22
(t
0
)+ ... + C
n
x
2n
(t
0
)=
0
x
2
,
......................................................................
C
1
x
n1
(t
0
)+C
2
x
n2
(t
0
)+ ... + C
n
x
nn
(t
0
)=
0
x
n
.
Определитель данной системы — это определитель Вронского
нашей линейно независимой системы решений. Поэтому он от-
личен от нуля, det W (t) =0. Следовательно, система всегда
имеет единственное решение, которое может быть найдено, на-
пример, по формулам Крамера.
Теорема 3(об общем решении линейной неоднородной сис-
темы). Если Y (t) – частное решение неоднородной системы
L (X(t)) = F (t), то X(t)=Y (t)+
n
i=1
C
i
X
i
(t), где X
i
(t)
— линейно независимые решения соответствующей однород-
ной системы L (X(t)) = 0, а C
i
— произвольные постоянные,
есть общее решение линейной неоднородной системы дифферен-
циальных уравнений.
Доказательство. Вместо неизвестного вектора X(t) вве-
дём новый вектор Z(t)=X(t) − Y (t). Тогда L (Z(t)) =
L (X(t))−L (Y (t)) = 0, поскольку L (X(t)) = L (Z(t)+Y (t)) =
L (Z(t)) + L (Y (t))
$ %& '
≡F (t)
= F (t) ⇒ L (Z(t)) = 0.
Если X
1
(t),X
2
(t), ..., X
n
(t) — система линейно независимых
решений однородной системы L (Z(t)) = 0, то Z(t)=
n
i=1
C
i
X
i
(t)
98
это требование эквивалентно тому, что должно быть удовлетво-
                                       n
                                       
рено векторное уравнение                     Ci Xi(t0) = X0, где Ci считаются
                                       i=1
неизвестными величинами, или подробно
       ⎧
       ⎪
       ⎪                                                                       0
       ⎪
       ⎪
       ⎪
       ⎪
           C1 x11(t0) + C2 x12(t0) + ... + Cn x1n(t0) = x1,
       ⎪
       ⎪
       ⎪
       ⎪
       ⎪
       ⎪                                                                       0
       ⎪
       ⎪   C1 x21(t0) + C2 x22(t0) + ... + Cn x2n(t0) = x2,
       ⎪
       ⎨
       ⎪
       ⎪
       ⎪
       ⎪   ......................................................................
       ⎪
       ⎪
       ⎪
       ⎪
       ⎪
       ⎪
       ⎪
       ⎪                                                                        0
       ⎪
       ⎪
       ⎪
       ⎩   C1 xn1(t0) + C2 xn2(t0) + ... + Cn xnn(t0) = xn .
Определитель данной системы — это определитель Вронского
нашей линейно независимой системы решений. Поэтому он от-
личен от нуля, det W (t) = 0. Следовательно, система всегда
имеет единственное решение, которое может быть найдено, на-
пример, по формулам Крамера.
     Теорема 3(об общем решении линейной неоднородной сис-
темы). Если Y (t) – частное решение неоднородной системы
                                                            n
                                                            
L (X(t)) = F (t), то X(t) = Y (t) +                               Ci Xi(t), где Xi(t)
                                                            i=1
— линейно независимые решения соответствующей однород-
ной системы L (X(t)) = 0, а Ci — произвольные постоянные,
есть общее решение линейной неоднородной системы дифферен-
циальных уравнений.
     Доказательство. Вместо неизвестного вектора X(t) вве-
дём новый вектор             Z(t) = X(t) − Y (t).                  Тогда        L (Z(t)) =
L (X(t)) − L (Y (t)) = 0, поскольку L (X(t)) = L (Z(t) + Y (t)) =
L (Z(t)) + L
           $
             (Y%&(t))' = F (t) ⇒ L (Z(t)) = 0.
               ≡F (t)
     Если X1(t), X2(t), ..., Xn (t) — система линейно независимых
                                                                                    n
                                                                                    
решений однородной системы L (Z(t)) = 0, то Z(t) =                                        CiXi(t)
                                                                                    i=1

                                             98

Страницы