Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

является решением системы L (X(t)) = F
1
(t)+F
2
(t)+...+F
s
(t).
Как следствие этой теоремы имеем, что если система
L (X(t)) = U(t)+iV(t)
имеет решение Z =
˜
X(t)+i
˜
Y (t), то L
˜
X(t)
≡ U(t),L
˜
Y (t)
≡
≡ V (t). Иначе говоря, функции
˜
X(t) и
˜
Y (t) являются реше-
ниями уравнений L (X(t)) = U(t) и L (Y (t)) = V (t) .
13.2. Метод вариации произвольных постоянных
Решение неоднородной системы линейных дифференциаль-
ных уравнений
dX
dt
− A(t)X = F (t)(13.4)
ищем в виде
X(t)=
n
i=1
C
i
(t) X
i
(t), (13.5)
где X
1
(t),X
2
(t), ... , X
n
(t) — система линейно независимых
решений однородной системы
dX
dt
− A(t)X =0, а C
i
(t) —
неизвестные пока функции. Для нахождения этих функций под-
ставим решение (13.5) в исходную систему (13.4):
n
i=1
C
i
(t)X
i
(t)+
n
i=1
C
i
(t)
dX
i
(t)
dt
− A(t)
n
i=1
C
i
(t)X
i
(t)=F (t).
Но X
i
(t) — решения однородной системы, то есть
dX
i
dt
≡ A(t)X
i
(t),
и, следовательно, второе и третье слагаемые взаимно уничтожа-
100
является решением системы L (X(t)) = F1(t)+F2(t)+...+Fs(t).
    Как следствие этой теоремы имеем, что если система

                          L (X(t)) = U (t) + i V (t)
                                                                     
имеет решение Z = X̃(t) + i Ỹ (t), то L X̃(t) ≡ U (t), L Ỹ (t) ≡
≡ V (t). Иначе говоря, функции X̃(t) и Ỹ (t) являются реше-
ниями уравнений L (X(t)) = U (t) и L (Y (t)) = V (t) .

    13.2. Метод вариации произвольных постоянных

    Решение неоднородной системы линейных дифференциаль-
ных уравнений
                               dX
                                   − A(t)X = F (t)                    (13.4)
                                dt
ищем в виде
                                         n
                                         
                               X(t) =          Ci(t) Xi(t),           (13.5)
                                         i=1
где X1(t), X2(t), ... , Xn(t) — система линейно независимых
решений однородной системы dX   dt − A(t)X = 0, а Ci(t) —
неизвестные пока функции. Для нахождения этих функций под-
ставим решение (13.5) в исходную систему (13.4):
   n
                        n
                                      dXi(t)        n
                                                     
         Ci(t)Xi(t) +         Ci(t)          − A(t) Ci(t)Xi(t) = F (t).
   i=1                   i=1            dt          i=1

Но Xi(t) — решения однородной системы, то есть
                                 dXi
                                     ≡ A(t)Xi(t),
                                  dt
и, следовательно, второе и третье слагаемые взаимно уничтожа-



                                           100

Страницы