Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ются. Остаётся
n
i=1
C
i
(t) X
i
(t)=F (t), что эквивалентно
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
n
i=1
C
i
(t) x
1i
(t)=f
1
(t),
n
i=1
C
i
(t) x
2i
(t)=f
2
(t),
..................................
n
i=1
C
i
(t) x
ni
(t)=f
n
(t).
Поскольку det W (t) =0, то существует единственное решение
этой системы, которое может быть найдено, например, по фор-
мулам Крамера: C
i
(t)=ϕ
i
(t). Интегрируя, легко получить
C
i
(t)=
ϕ
i
(t) dt + k
i
,k
i
— const.
Таким образом,
X(t)=
n
i=1
ϕ
i
(t) dt
X
i
(t)+
n
i=1
k
i
X
i
(t)
— общее решение системы.
ЛЕКЦИЯ 14
14.1. Системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
Линейной системой дифференциальных уравнений с посто-
янными коэффициентами называется система
dx
i
(t)
dt
=
n
k=1
a
ik
x
k
(t)+f
i
(t), (14.1)
где a
ik
— const, или в матричном виде
dX
dt
= AX −F (t), (14.1
∗
)
матрица A = a
ik
— числовая матрица.
101
                     n
                     
ются. Остаётся             Ci(t) Xi(t) = F (t), что эквивалентно
                     i=1
                           ⎧ n
                           ⎪  
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪
                                   Ci(t) x1i(t) = f1(t),
                           ⎪
                           ⎪ i=1
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪  n
                              
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎨       Ci(t) x2i(t) = f2(t),
                           ⎪
                             i=1
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪ ..................................
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪ n
                             
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎪
                           ⎩       Ci(t) xni(t) = fn(t).
                             i=1
Поскольку det W (t) = 0, то существует единственное решение
этой системы, которое может быть найдено, например, по фор-
мулам Крамера: Ci(t) = ϕi(t). Интегрируя, легко получить
          
Ci(t) =       ϕi(t) dt + ki, ki — const.
     Таким образом,
                           n 
                                                          n
                                                            
                X(t) =              ϕi(t) dt Xi(t) +              ki Xi(t)
                           i=1                              i=1
— общее решение системы.


                                   ЛЕКЦИЯ 14

      14.1. Системы линейных дифференциальных
       уравнений с постоянными коэффициентами
     Линейной системой дифференциальных уравнений с посто-
янными коэффициентами называется система
                 dxi(t)    n
                           
                        =     aik xk (t) + fi(t),                            (14.1)
                   dt     k=1
где aik — const, или в матричном виде
                      dX
                          = AX − F (t),                                      (14.1∗)
                       dt
матрица A = aik  — числовая матрица.
                                           101

Страницы