Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где E — единичная матрица. В результате имеем однородную
систему линейных алгебраических уравнений с одним парамет-
ром λ для определения неизвестных α
1
,α
2
, ... , α
n
:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
(a
11
− λ) α
1
+ a
12
α
2
+ ... + a
1n−1
α
n−1
+ a
1n
α
n
=0,
a
21
α
1
+(a
22
− λ) α
2
+ ... + a
2n−1
α
n−1
+ a
2n
α
n
=0,
..................................................................................
a
n1
α
1
+ a
n2
α
2
+ ... + a
nn−1
α
n−1
+(a
nn
− λ) α
n
=0.
(14.3)
Эта система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда,
когда определитель этой системы равен нулю, то есть
det (A − λE)=0. (14.4)
Уравнение (12.4) — это алгебраическое уравнение n-го поряд-
ка, называемое характеристическим уравнением. Из линейной
алгебры следует что λ – собственные значения матрицы A, а
неизвестные векторы
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(i)
α
1
(i)
α
2
....
(i)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(i =1, 2, ... , n) — собственные
векторы, отвечающие собственным значениям λ
1
,λ
2
, ... , λ
n
.
Среди этих собственных значений λ
i
имеются как вещественные,
так и комплексные; как однократные, так и кратности r>1.
14.2. Простые корни характеристического полинома
Все корни характеристического полинома однократные, то
есть все различны между собой: λ
1
= λ
2
= ... = λ
n
. В этом
случае, как мы знаем из курса линейной алгебры, существует
103
где E — единичная матрица. В результате имеем однородную
систему линейных алгебраических уравнений с одним парамет-
ром λ для определения неизвестных α1, α2, ... , αn :
 ⎧
 ⎪
 ⎪
 ⎪
 ⎪
 ⎪
 ⎪
     (a11 − λ) α1 + a12 α2 + ... + a1n−1 αn−1 + a1n αn = 0,
 ⎪
 ⎪
 ⎪
 ⎪
 ⎪
 ⎨   a21 α1 + (a22 − λ) α2 + ... + a2n−1 αn−1 + a2n αn = 0,
 ⎪
 ⎪
                                                                                          (14.3)
 ⎪
 ⎪   ..................................................................................
 ⎪
 ⎪
 ⎪
 ⎪
 ⎪
 ⎪
 ⎪
 ⎩   an1 α1 + an2 α2 + ... + ann−1 αn−1 + (ann − λ) αn = 0.
Эта система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда,
когда определитель этой системы равен нулю, то есть

                                    det (A − λE) = 0.                                     (14.4)

Уравнение (12.4) — это алгебраическое уравнение n-го поряд-
ка, называемое характеристическим уравнением. Из линейной
алгебры следует что λ – собственные значения матрицы A, а
                                   ⎛          ⎞
                                       (i)
                                   ⎜   α1⎟
                                   ⎜     ⎟
                                   ⎜     ⎟
                                   ⎜     ⎟
                                       (i)
                                   ⎜     ⎟
                                   ⎜
                                   ⎜   α2⎟
                                         ⎟
неизвестные векторы                ⎜
                                   ⎜
                                         ⎟
                                         ⎟          (i = 1, 2, ... , n) — собственные
                                   ⎜     ⎟
                                   ⎜
                                   ⎜
                                       ....
                                         ⎟
                                         ⎟
                                   ⎜ (i) ⎟
                                   ⎝     ⎠
                                       αn
векторы, отвечающие собственным значениям λ1, λ2, ... , λn.
Среди этих собственных значений λi имеются как вещественные,
так и комплексные; как однократные, так и кратности r > 1.

 14.2. Простые корни характеристического полинома

      Все корни характеристического полинома однократные, то
есть все различны между собой: λ1 = λ2 = ... = λn. В этом
случае, как мы знаем из курса линейной алгебры, существует

                                                  103

Страницы