Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Подставим это выражение в уравнение (14.2):
dX
dt
= AX,
имеем
λ
0
e
λ
0
t
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(1)
α
1
(1)
α
2
....
(1)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+ t
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(2)
α
1
(2)
α
2
....
(2)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+ ... + t
r−1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(r)
α
1
(r)
α
2
....
(r)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+
+e
λ
0
t
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(2)
α
1
(2)
α
2
....
(2)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+2t
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(3)
α
1
(3)
α
2
....
(3)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+ ... +(r − 1)t
r−2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(r)
α
1
(r)
α
2
....
(r)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
= e
λ
0
t
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
11
a
12
...a
1n
a
21
a
22
...a
2n
.................
a
n1
a
n2
...a
nn
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(1)
α
1
(1)
α
2
....
(1)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+ t
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(2)
α
1
(2)
α
2
....
(2)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
+ ... + t
r−1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(r)
α
1
(r)
α
2
....
(r)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
. Вле-
вой и правой частях этого равенства — полиномы степени r−1.
Сравнивая матричные коэффициенты при одинаковых степенях
t, получим соответствующие системы линейных алгебраиче-
ских уравнений для определения неизвестных величин
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(1)
α
1
(1)
α
2
....
(1)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(2)
α
1
(2)
α
2
....
(2)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
, ... ,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
(r)
α
1
(r)
α
2
....
(r)
α
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
105
Подставим это выражение в уравнение (14.2):                                                                 dX = A X,
                                                                                                             dt
имеем          ⎛⎛           ⎞           ⎛           ⎞                            ⎛          ⎞⎞
                     (1)                    (2)                                      (r)
            ⎜⎜     ⎟ α1                 ⎜   α1⎟                              ⎜     ⎟⎟α1
            ⎜⎜     ⎟                    ⎜     ⎟                              ⎜     ⎟⎟
            ⎜⎜     ⎟                    ⎜     ⎟                              ⎜     ⎟⎟
            ⎜⎜     ⎟ (1)                ⎜     ⎟
                                            (2)                              ⎜     ⎟⎟(r)
            ⎜⎜     ⎟                    ⎜     ⎟                              ⎜     ⎟⎟
            ⎜⎜
       λ0 t ⎜⎜
                   ⎟
                   ⎟ α2                 ⎜
                                        ⎜   α2⎟
                                              ⎟
                                                                             ⎜
                                                                         r−1 ⎜
                                                                                   ⎟⎟
                                                                                   ⎟⎟α2
     λe
     0      ⎜⎜
            ⎜⎜
                   ⎟
                   ⎟            +t      ⎜
                                        ⎜
                                              ⎟
                                              ⎟         + ... + t            ⎜
                                                                             ⎜
                                                                                   ⎟⎟
                                                                                   ⎟⎟             +
            ⎜⎜     ⎟                    ⎜     ⎟                              ⎜     ⎟⎟
            ⎜⎜
            ⎜⎜
                   ⎟
                   ⎟
                     ....               ⎜
                                        ⎜
                                            ....
                                              ⎟
                                              ⎟
                                                                             ⎜
                                                                             ⎜
                                                                                   ⎟⎟
                                                                                   ⎟⎟
                                                                                     ....
            ⎜⎜ (1) ⎟                    ⎜ (2) ⎟                              ⎜ (r) ⎟⎟
            ⎝⎝     ⎠                    ⎝     ⎠                              ⎝     ⎠⎠
                     αn                     αn                                       αn
          ⎛⎛          ⎞             ⎛           ⎞                                           ⎛          ⎞⎞
               (2)                      (3)                                                     (r)
          ⎜⎜   α1⎟                  ⎜   α1⎟                                               ⎜     ⎟⎟
                                                                                                α1
          ⎜⎜     ⎟                  ⎜     ⎟                                               ⎜     ⎟⎟
          ⎜⎜     ⎟                  ⎜     ⎟                                               ⎜     ⎟⎟
          ⎜⎜     ⎟
               (2)                  ⎜     ⎟
                                        (3)                                               ⎜     ⎟⎟
                                                                                                (r)
          ⎜⎜     ⎟                  ⎜     ⎟                                               ⎜     ⎟⎟
          ⎜⎜
     λ0 t ⎜ ⎜  α2⎟
                 ⎟
                                    ⎜
                                    ⎜   α2⎟
                                          ⎟
                                                                                          ⎜
                                                                                      r−2 ⎜     α2
                                                                                                ⎟⎟
                                                                                                ⎟⎟
+e        ⎜⎜
          ⎜⎜
                 ⎟
                 ⎟         + 2t     ⎜
                                    ⎜
                                          ⎟
                                          ⎟         + ... + (r − 1)t                      ⎜
                                                                                          ⎜
                                                                                                ⎟⎟
                                                                                                ⎟⎟          =
          ⎜⎜     ⎟                  ⎜     ⎟                                               ⎜     ⎟⎟
          ⎜⎜
          ⎜⎜
               ....
                 ⎟
                 ⎟
                                    ⎜
                                    ⎜
                                        ....
                                          ⎟
                                          ⎟
                                                                                          ⎜
                                                                                          ⎜
                                                                                                ....
                                                                                                ⎟⎟
                                                                                                ⎟⎟
          ⎜⎜ (2) ⎟                  ⎜ (3) ⎟                                               ⎜ (r) ⎟⎟
          ⎝⎝     ⎠                  ⎝     ⎠                                               ⎝     ⎠⎠
               αn                       αn                                                      αn
          ⎛                             ⎞ ⎛⎛ ⎞                         ⎛          ⎞                         ⎛          ⎞⎞
          ⎜    a11a12...a1n        ⎟ ⎜⎜
                                         (1)                               (2)                                  (r)
          ⎜
          ⎜
                                   ⎟ ⎜⎜
                                   ⎟ ⎜⎜    1 ⎟
                                             ⎟      α                  ⎜
                                                                       ⎜   α1     ⎟
                                                                                  ⎟
                                                                                                           ⎜
                                                                                                           ⎜    α1     ⎟⎟
                                                                                                                       ⎟⎟
          ⎜                        ⎟ ⎜⎜      ⎟                         ⎜          ⎟                        ⎜           ⎟⎟
          ⎜                        ⎟ ⎜⎜ (1) ⎟⎟
                                                                       ⎜
                                                                       ⎜   (2)    ⎟
                                                                                  ⎟
                                                                                                           ⎜
                                                                                                           ⎜    (r)    ⎟⎟
                                                                                                                       ⎟⎟
          ⎜    a21a22...a       2n ⎟
                                   ⎟⎜  ⎜     ⎟      α                  ⎜   α2     ⎟                        ⎜    α2     ⎟⎟
     λ0 t ⎜                          ⎜ ⎜   2 ⎟                         ⎜          ⎟                    r−1 ⎜           ⎟⎟
=e        ⎜
          ⎜
          ⎜
                                   ⎟ ⎜⎜
                                   ⎟ ⎜⎜
                                   ⎟ ⎜⎜
                                             ⎟
                                             ⎟                +t       ⎜
                                                                       ⎜
                                                                                  ⎟
                                                                                  ⎟   + ... + t            ⎜
                                                                                                           ⎜
                                                                                                                       ⎟⎟
                                                                                                                       ⎟⎟   . В ле-
                                             ⎟                         ⎜          ⎟                        ⎜           ⎟⎟
          ⎜
          ⎜    .................   ⎟ ⎜⎜
                                   ⎟ ⎜⎜      ⎟
                                             ⎟
                                                    ....               ⎜
                                                                       ⎜
                                                                           ....   ⎟
                                                                                  ⎟
                                                                                                           ⎜
                                                                                                           ⎜
                                                                                                                ....   ⎟⎟
                                                                                                                       ⎟⎟
          ⎜                        ⎟ ⎜⎜
          ⎜                        ⎟ ⎝⎝ (1) ⎟⎠
                                                                       ⎜ (2)
                                                                       ⎝
                                                                                  ⎟
                                                                                  ⎠
                                                                                                           ⎜ (r)
                                                                                                           ⎝
                                                                                                                       ⎟⎟
                                                                                                                       ⎠⎠
          ⎝                        ⎠
               an1an2...ann
                        αn       αn              αn
вой и правой частях этого равенства — полиномы степени r−1.
Сравнивая матричные коэффициенты при одинаковых степенях
t,    получим соответствующие системы линейных алгебраиче-
ских уравнений для определения неизвестных величин
                                ⎛           ⎞           ⎛          ⎞                   ⎛           ⎞
                                    (1)                     (2)                             (r)
                                ⎜   α       ⎟           ⎜   α      ⎟                   ⎜    α      ⎟
                                ⎜       ⎟               ⎜       ⎟                      ⎜        ⎟
                                ⎜    1 ⎟                ⎜    1 ⎟                       ⎜     1 ⎟
                                ⎜
                                ⎜   (1) ⎟
                                        ⎟
                                                        ⎜
                                                        ⎜   (2) ⎟
                                                                ⎟
                                                                                       ⎜
                                                                                       ⎜    (r) ⎟
                                                                                                ⎟
                                ⎜       ⎟               ⎜       ⎟                      ⎜        ⎟
                                ⎜
                                ⎜
                                    α   ⎟               ⎜   α   ⎟                      ⎜    α   ⎟
                                ⎜    2 ⎟⎟       ,       ⎜
                                                        ⎜    2 ⎟⎟      , ... ,         ⎜
                                                                                       ⎜     2 ⎟⎟      .
                                ⎜       ⎟               ⎜       ⎟                      ⎜        ⎟
                                ⎜   ....⎟               ⎜   ....⎟                      ⎜    ....⎟
                                ⎜       ⎟               ⎜       ⎟                      ⎜        ⎟
                                ⎜       ⎟               ⎜       ⎟                      ⎜        ⎟
                                ⎜   (1) ⎟               ⎜   (2) ⎟                      ⎜    (r) ⎟
                                ⎝       ⎠               ⎝       ⎠                      ⎝        ⎠
                                    α
                                    n
                                                            α
                                                            n
                                                                                            α
                                                                                            n




                                                                   105

Страницы