Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ЛЕКЦИЯ 15
15.1. Теория устойчивости
Физические явления, как нам известно, описываются си-
стемами дифференциальных уравнений. При этом надо пони-
мать, что описываемые физические явления рассматриваются
при тех или иных упрощающих предположениях (то есть ставит-
ся, так называемая, "модельная задача описания физического
явления"). Но правильно ли выбраны упрощающие предполо-
жения? Ведь может получиться так, что некоторые неучтенные
моменты, не являющиеся на первый взгляд существенными, мо-
гут значительно изменить как качественные, так и количествен-
ные характеристики описываемого физического явления. В ко-
нечном счёте только господин эксперимент решает вопрос о
соответствии модельных рассмотрений опытным данным.
Однако во многих случаях можно заведомо указать усло-
вия, при которых упрощения не допустимы. Эти условия выдви-
гает теория устойчивости.
Пусть задана система обыкновенных дифференциальных
уравнений
dy
i
dt
= F
i
(t, y
1
,y
2
, ..., y
n
)(i =1, 2, ..., n)(15.1)
с начальными данными y
i
(t
0
)=y
0i
, которые являются резуль-
татами измерений и, следовательно, получены с погрешностями.
Возникает вопрос: как малое изменение начальных данных вли-
яет на искомое решение? Если окажется, что сколь угодно малое
изменение начальных данных приводит к сильному изменению
106
                        ЛЕКЦИЯ 15

                 15.1. Теория устойчивости

    Физические явления, как нам известно, описываются си-
стемами дифференциальных уравнений. При этом надо пони-
мать, что описываемые физические явления рассматриваются
при тех или иных упрощающих предположениях (то есть ставит-
ся, так называемая, "модельная задача описания физического
явления"). Но правильно ли выбраны упрощающие предполо-
жения? Ведь может получиться так, что некоторые неучтенные
моменты, не являющиеся на первый взгляд существенными, мо-
гут значительно изменить как качественные, так и количествен-
ные характеристики описываемого физического явления. В ко-
нечном счёте только господин эксперимент решает вопрос о
соответствии модельных рассмотрений опытным данным.
    Однако во многих случаях можно заведомо указать усло-
вия, при которых упрощения не допустимы. Эти условия выдви-
гает теория устойчивости.
    Пусть задана система обыкновенных дифференциальных
уравнений
           dyi
               = Fi(t, y1, y2, ..., yn) (i = 1, 2, ..., n) (15.1)
           dt
с начальными данными yi(t0) = y0i, которые являются резуль-
татами измерений и, следовательно, получены с погрешностями.
Возникает вопрос: как малое изменение начальных данных вли-
яет на искомое решение? Если окажется, что сколь угодно малое
изменение начальных данных приводит к сильному изменению
                               106

Страницы