Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

решения, то решение, определяемое данными начальными зна-
чениями, не имеет никакого прикладного характера и не может
описывать (даже приближённо) изучаемое явление.
Поэтому для приложений необходимо решать вопрос о тех
условиях, при которых бесконечно малому изменению началь-
ных значений соответствовало бы бесконечно малое изменение
решения системы (15.1).
Вспомним теорему существования и единственности. Ко-
гда t меняется на конечном сегменте [t
0
,T], то из этой
теоремы следует непрерывная зависимость решения от началь-
ных данных. Это означает, что бесконечно малому изменению
начальных значений соответствует бесконечно малое изменение
решения. Если же t может принимать сколь угодно большие
значения, то для решения данного вопроса необходимо восполь-
зоваться теорией устойчивости.
Перейдём к основным определениям теории устойчивости.
15.2. Основные определения и сведение задачи к
исследованию точек покоя
Определение 1. Решение (ϕ
1
(t),ϕ
2
(t), ... , ϕ
n
(t)) систе-
мы дифференциальных уравнений (15.1) называется устойчи-
вым по Ляпунову, если ∀ε>0 ∃δ(ε) > 0 такое, что для всякого
другого решения (y
1
(t),y
2
(t), ... , y
n
(t)) системы (15.1), началь-
ные значения которого y
i
(t
0
) удовлетворяют неравенству
|y
i
(t
0
) − ϕ
i
(t
0
)| <δ(ε)(i =1, 2, ..., n),
107
решения, то решение, определяемое данными начальными зна-
чениями, не имеет никакого прикладного характера и не может
описывать (даже приближённо) изучаемое явление.
    Поэтому для приложений необходимо решать вопрос о тех
условиях, при которых бесконечно малому изменению началь-
ных значений соответствовало бы бесконечно малое изменение
решения системы (15.1).
    Вспомним теорему существования и единственности. Ко-
гда t меняется на конечном сегменте [t0, T ], то из этой
теоремы следует непрерывная зависимость решения от началь-
ных данных. Это означает, что бесконечно малому изменению
начальных значений соответствует бесконечно малое изменение
решения. Если же t может принимать сколь угодно большие
значения, то для решения данного вопроса необходимо восполь-
зоваться теорией устойчивости.
    Перейдём к основным определениям теории устойчивости.

    15.2. Основные определения и сведение задачи к
                 исследованию точек покоя

    Определение 1.        Решение (ϕ1(t), ϕ2(t), ... , ϕn(t)) систе-
мы дифференциальных уравнений (15.1) называется устойчи-
вым по Ляпунову, если ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 такое, что для всякого
другого решения (y1(t), y2(t), ... , yn(t)) системы (15.1), началь-
ные значения которого yi(t0) удовлетворяют неравенству

             |yi(t0) − ϕi(t0)| < δ(ε)   (i = 1, 2, ..., n),


                                 107

Страницы