Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

зовать при всех t>t
0
, так как сколько бы мало ни отлича-
лись ˆy
0
и y
0
(то есть несмотря на выполнение неравенства
|ˆy
0
− y
0
| <δ при сколь угодно малом δ ) при больших t,
выражение e
α
2
(t−t
0
)
может стать сколь угодно большой вели-
чиной.
Исследование на устойчивость решения { ϕ
i
(t) } (i =1,
2, ..., n) системы (15.1) всегда можно свести к исследованию на
устойчивость тривиального решения, называемого точкой по-
коя, расположенного в начале координат.
В самом деле, введём новые функции x
i
(t)=y
i
(t) −ϕ
i
(t).
Тогда
dx
i
dt
=
dy
i
dt
−
dϕ
i
(t)
dt
, и из (15.1) следует
dx
i
dt
= −
dϕ
i
(t)
dt
+ F
i
(t, x
1
+ ϕ
1
(t),x
2
+ ϕ
2
(t), ..., x
n
+ ϕ
n
(t)) .
(15.3)
Очевидно, что исследуемому на устойчивость решению y
i
(t)=
= ϕ
i
(t) соответствует в новых переменных решение x
i
(t)=0
системы (15.3). В дальнейшем мы всегда будем исследовать на
устойчивость только тривиальное решение. Поскольку в коор-
динатах {x
1
,x
2
, ... , x
n
}∈ E
n
точка x
i
(t)=0 соответствует
началу координат, то все дальнейшие исследования касаются
исключительно поведения интегральных кривых в окрестности
начала координат — точки покоя системы.
В связи с введением новых переменных, переформулируем
определения 1 и 2.
Определение 1
∗
. Точка покоя системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (15.3) устойчива по Ляпунову,
109
зовать при всех t > t0, так как сколько бы мало ни отлича-
лись ŷ0 и y0 (то есть несмотря на выполнение неравенства
|ŷ0 − y0| < δ при сколь угодно малом δ ) при больших t,
               2 (t−t )
выражение eα         0    может стать сколь угодно большой вели-
чиной.
    Исследование на устойчивость решения { ϕi(t) }           (i = 1,
2, ..., n) системы (15.1) всегда можно свести к исследованию на
устойчивость тривиального решения, называемого точкой по-
коя, расположенного в начале координат.
    В самом деле, введём новые функции xi(t) = yi(t) − ϕi(t).
        dxi dyi dϕi(t)
Тогда      =     −       , и из (15.1) следует
        dt   dt      dt
  dxi    dϕi(t)
      =−        + Fi (t, x1 + ϕ1(t), x2 + ϕ2(t), ..., xn + ϕn(t)) .
  dt      dt
                                                               (15.3)
Очевидно, что исследуемому на устойчивость решению yi(t) =
= ϕi(t) соответствует в новых переменных решение xi(t) = 0
системы (15.3). В дальнейшем мы всегда будем исследовать на
устойчивость только тривиальное решение. Поскольку в коор-
динатах {x1, x2, ... , xn} ∈ En точка xi(t) = 0 соответствует
началу координат, то все дальнейшие исследования касаются
исключительно поведения интегральных кривых в окрестности
начала координат — точки покоя системы.
    В связи с введением новых переменных, переформулируем
определения 1 и 2.
    Определение 1∗ . Точка покоя системы обыкновенных
дифференциальных уравнений (15.3) устойчива по Ляпунову,

                                 109

Страницы