Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

I. Δ = 0.
A. Корни λ
1
и λ
2
характеристического уравнения веще-
ственны и различны. Тогда
⎛
⎜
⎜
⎝
x
y
⎞
⎟
⎟
⎠
= c
1
e
λ
1
t
⎛
⎜
⎜
⎝
α
1
α
2
⎞
⎟
⎟
⎠
+ c
2
e
λ
2
t
⎛
⎜
⎜
⎝
β
1
β
2
⎞
⎟
⎟
⎠
, (15.4)
то есть, иначе говоря,
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x(t)=c
1
α
1
e
λ
1
t
+ c
2
β
1
e
λ
2
t
,
y(t)=c
1
α
2
e
λ
1
t
+ c
2
β
2
e
λ
2
t
.
(15.5)
A
1
.λ
1
< 0,λ
2
< 0; пусть λ
1
= −p
2
,λ
2
= −q
2
. В этом
случае решение (15.5) примет вид
x
y
Рис. 10.
Устойчивый узел
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x(t)=C
1
α
1
e
−p
2
t
+ C
2
β
1
e
−q
2
t
,
y(t)=C
1
α
2
e
−p
2
t
+ C
2
β
2
e
−q
2
t
.
(15.6)
Точка покоя x =0,y=0 устойчива
и асимптотически устойчива, так как из-за
наличия множителей e
−p
2
t
и e
−q
2
t
все
точки, находящиеся в момент времени t
0
в
δ -окрестности начала координат, при доста-
точно большом t переходят в точки, лежа-
щие в сколь угодно малой ε -окрестности начала координат, а
при t →∞ и x → 0, и y → 0.
Если в (15.6) положить C
1
=0 или C
2
=0, получим два
выделенных решения. Эти решения имеют вид
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x(t)=α
1
C
1
e
−p
2
t
,
y(t)=α
2
C
1
e
−p
2
t
или
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x(t)=C
2
β
1
e
−q
2
t
,
y(t)=C
2
β
2
e
−q
2
t
.
111
      I. Δ = 0.
      A. Корни λ1 и λ2 характеристического уравнения веще-
ственны и различны. Тогда
                  ⎛           ⎞             ⎛        ⎞              ⎛              ⎞
                  ⎜   x⎟                    ⎜   α1   ⎟              ⎜   β1         ⎟
                  ⎜
                  ⎝
                       ⎟
                              ⎠   = c1eλ1t ⎜
                                           ⎝
                                                     ⎟
                                                     ⎠   + c2eλ2t ⎜
                                                                  ⎝
                                                                                   ⎟
                                                                                   ⎠   ,            (15.4)
                      y                         α2                      β2
то есть, иначе говоря,
                              ⎧
                              ⎪
                              ⎪
                              ⎪
                              ⎨   x(t) = c1α1eλ1t + c2β1eλ2t ,
                              ⎪
                              ⎪
                                                                                                    (15.5)
                              ⎪
                              ⎩                      λ1 t           λ2 t
                                  y(t) = c1α2e              + c2β2e        .
      A1. λ1 < 0, λ2 < 0; пусть λ1 = −p 2, λ2 = −q 2 . В этом
случае решение (15.5) примет вид

           y

                                     ⎧
                                                                2                          2
                                     ⎪
                                     ⎪
                                     ⎨   x(t) = C1α1e−p t + C2β1e−q t ,
                                     ⎪                          2                          2        (15.6)
                                     ⎪
                                     ⎩   y(t) = C1α2e−p t + C2β2e−q t .

                          x
                                         Точка покоя x = 0, y = 0 устойчива
                              и асимптотически устойчива, так как из-за
                                                                               2t                  2t
                              наличия множителей e−p                                       и e−q        все
                              точки, находящиеся в момент времени t0 в
                              δ -окрестности начала координат, при доста-
Рис. 10.
Устойчивый узел               точно большом t переходят в точки, лежа-
щие в сколь угодно малой ε -окрестности начала координат, а
при t → ∞ и x → 0, и y → 0.
      Если в (15.6) положить C1 = 0 или C2 = 0, получим два
выделенных решения. Эти решения имеют вид
⎧                                               ⎧
                  −p2 t                                                        2
⎪
⎪
⎨   x(t) = α1C1e              ,                 ⎪
                                                ⎪
                                                ⎨   x(t) = C2β1e−q t ,
⎪                     2t             или        ⎪                              2
⎪
⎩   y(t) = α2C1e−p                              ⎪
                                                ⎩   y(t) = C2β2e−q t .
                                                111

Страницы