Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

В плоскости (x, y) — это прямая
x
y
=
α
1
α
2
в случае первого
решения или прямая
x
y
=
β
1
β
2
в случае второго. Оба эти решения
устойчивы, и при t →∞, и x → 0, и y → 0 вдоль этих
прямых.
Покажем, что кривые входят в особую точку, касаясь той
прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соот-
ветствующего меньшему по абсолютной величине значению λ.
Пусть p
2
<q
2
. Запишем (15.6) в виде
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x(t)=e
−p
2
t
C
1
α
1
+ C
2
β
1
e
−(q
2
−p
2
)t
,
y(t)=e
−p
2
t
C
1
α
2
+ C
2
β
2
e
−(q
2
−p
2
)t
.
(15.7)
Легко видеть, что поскольку q
2
− p
2
> 0, то при t → +∞
вторые слагаемые в скобках быстро убывают, поэтому при боль-
ших значениях t поведение решения определяется только пер-
выми слагаемыми
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x(t) ≈ e
−p
2
t
C
1
α
1
,
y(t) ≈ e
−p
2
t
C
1
α
2
,
то есть интегральные
кривые асимптотически стремятся к прямой y =
α
2
α
1
x.
Однако же "бесконечно давно", то есть при t →−∞, имен-
но вторые слагаемые в (15.6) превалируют над первыми, и общее
направление движения точек определяется, главным образом,
прямой y =
β
2
β
1
x.
На рисунке 10 схематично изображено расположение тра-
екторий около точки покоя рассматриваемого типа, называемой
устойчивым узлом. Стрелками показано направление движе-
ния по траектории при возрастании t.
A
2
.λ
1
> 0,λ
2
> 0. Пусть λ
1
= p
2
,λ
2
= q
2
. При
112
                                               x   α1
В плоскости (x, y) — это прямая                  =    в случае первого
                                               y   α2
                   x β1
решения или прямая  =    в случае второго. Оба эти решения
                   y β2
устойчивы, и при t → ∞, и x → 0, и y → 0 вдоль этих
прямых.
    Покажем, что кривые входят в особую точку, касаясь той
прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соот-
ветствующего меньшему по абсолютной величине значению λ.
Пусть p2 < q 2. Запишем (15.6) в виде
            ⎧                                                  
            ⎪
            ⎪          −p2 t                     −(q 2 −p2 )t
            ⎨   x(t) = e              C1α1 + C2β1e                  ,
            ⎪                2t
                                  
                                                     2 −p2 )t
                                                                       (15.7)
            ⎪
            ⎩   y(t) = e−p        C1α2 + C2β2e−(q                   .

    Легко видеть, что поскольку q 2 − p2 > 0, то при t → +∞
вторые слагаемые в скобках быстро убывают, поэтому при боль-
ших значениях t поведение
                   ⎧
                           решения определяется только пер-
                   ⎪
                   ⎨ x(t) ≈ e
                   ⎪         −p2 t
                                   C1α1,
выми слагаемыми ⎪              2         то есть интегральные
                   ⎪
                   ⎩ y(t) ≈ e−p tC1α2,
                                                 α2
кривые асимптотически стремятся к прямой y = x.
                                                 α1
    Однако же "бесконечно давно", то есть при t → −∞, имен-
но вторые слагаемые в (15.6) превалируют над первыми, и общее
направление движения точек определяется, главным образом,
            β2
прямой y = x.
            β1
    На рисунке 10 схематично изображено расположение тра-
екторий около точки покоя рассматриваемого типа, называемой
устойчивым узлом. Стрелками показано направление движе-
ния по траектории при возрастании t.
    A2. λ1 > 0,      λ2 > 0. Пусть λ1 = p 2,                    λ2 = q 2 . При

                                         112

Страницы