Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x(t)=e
αt
(C
1
cos βt + C
2
sin βt) ,
y(t)=e
αt
(C
3
cos βt + C
4
sin βt) ,
где C
1
и C
2
— произвольные
постоянные, а C
3
и C
4
— линейные комбинации постоянных
C
1
и C
2
.
B
1
.α=0,β=0. В этом случае решение исследуемой
системы уравнений имеет вид
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x(t)=C
1
cos βt + C
2
sin βt ,
y(t)=C
3
cos βt + C
4
sin βt .
Поскольку и sin βt и cos βt — периодические
x
y
Рис. 12. Центр
функции с одним и тем же периодом
2π
/
β
, зна-
чения x(t) и y(t) через период повторятся, а
это означает, что через этот промежуток времени
точка вернётся в исходное положение, т. е. траек-
тория замкнётся. Следовательно, в этом случае
мы имеем замкнутые циклы, окружающие точку (x, y)=(0, 0).
Решение устойчиво. Такая точка покоя называется центром.
Качественное поведение интегральных кривых в окрестности
этой точки покоя изображено на рисунке 12.
B
2
.α<0, пусть α = −p
2
,β=0.
Наличие множителя e
−p
2
t
в решении означает, что точка по
спирали стремится к началу координат при t →∞. Решение
устойчиво, более того, решение асимптотически устойчиво. Та-
кая точка покоя называется устойчивым фокусом. Качествен-
ное поведение интегральных кривых в окрестности фокуса по-
казано на рисунке 13.
B
3
.α>0. Пусть α = p
2
,β=0. Этот случай при
114
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨   x(t) = eαt(C1 cos βt + C2 sin βt) ,
⎪
⎪
                                                  где C1 и C2 — произвольные
⎪
⎩             αt
    y(t) = e (C3 cos βt + C4 sin βt) ,
постоянные, а C3 и C4 — линейные комбинации постоянных
C1 и C2.
       B1. α = 0,          β = 0.        В этом случае решение исследуемой
                                              ⎧
                                              ⎪
                                              ⎪
                                              ⎪
                                              ⎨   x(t) = C1 cos βt + C2 sin βt ,
системы уравнений имеет вид                   ⎪
                                              ⎪
                                              ⎪
                                              ⎩   y(t) = C3 cos βt + C4 sin βt .

                       Поскольку и sin βt и   cos βt — периодические
          y

                       функции с одним и тем же периодом 2π/β , зна-
                   x
                       чения x(t) и y(t) через период повторятся, а
                       это означает, что через этот промежуток времени
                       точка вернётся в исходное положение, т. е. траек-
Рис. 12. Центр
                       тория замкнётся. Следовательно, в этом случае
мы имеем замкнутые циклы, окружающие точку (x, y) = (0, 0).
Решение устойчиво. Такая точка покоя называется центром.
Качественное поведение интегральных кривых в окрестности
этой точки покоя изображено на рисунке 12.
B2. α < 0, пусть α = −p 2, β = 0.
                                     2t
Наличие множителя e−p                      в решении означает, что точка по
спирали стремится к началу координат при t → ∞. Решение
устойчиво, более того, решение асимптотически устойчиво. Та-
кая точка покоя называется устойчивым фокусом. Качествен-
ное поведение интегральных кривых в окрестности фокуса по-
казано на рисунке 13.
       B3. α > 0. Пусть α = p 2, β = 0.                       Этот случай при

                                            114

Страницы