Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

замене t →−t переходит в случай B
2
. Точки по спирали
бегут от начала координат. Точка покоя называется неустой-
чивым фокусом.
C. Корни характеристического урав-
x
y
Рис. 13. Фокус
нения кратные: λ
1
==λ
2
= λ. В этом
случае решение системы имеет вид
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x(t)=(C
1
α
1
+ C
2
β
1
t)e
λt
,
y(t)=(C
1
α
2
+ C
2
β
2
t)e
λt
,
где C
1
и C
2
— произвольные постоянные.
C
1
.λ<0. Пусть λ = −p
2
. Тогда lim
t→∞
x(t)= lim
t→∞
y(t)=
0. Точка покоя не только устойчива, но и асимптотически устой-
чива. Такая точка покоя называется вырожденным устойчивым
x
y
x
y
Рис. 14. Вырожденный узел Рис. 15. Дикритический узел
узлом. Геометрически, вырожденный устойчивый узел занимает
промежуточное положение между ситуациями A
1
и B
2
, так как
при сколь угодно малом изменении действительных коэффици-
ентов a
11
,a
12
,a
21
,a
22
она может превратиться как в устой-
чивый узел типа A
1
, так и в устойчивый фокус. Качественное
поведение интегральных кривых в окрестности вырожденного
узла показано на рисунке 14.
115
замене t → − t переходит в случай B2. Точки по спирали
бегут от начала координат. Точка покоя называется неустой-
чивым фокусом.
                                C. Корни характеристического урав-
           y
                            нения кратные: λ1 = = λ2 = λ.             В этом
                            случае решение системы имеет вид
                    x                ⎧
                                     ⎪
                                     ⎪
                                     ⎨   x(t) = (C1α1 + C2β1t)eλt ,
                                     ⎪
                                     ⎪
                                     ⎩   y(t) = (C1α2 + C2β2t)eλt ,
                            где C1 и C2 — произвольные постоянные.
   Рис. 13. Фокус


    C1. λ < 0. Пусть λ = −p 2. Тогда lim x(t) = lim y(t) =
                                                      t→∞          t→∞
0. Точка покоя не только устойчива, но и асимптотически устой-
чива. Такая точка покоя называется вырожденным устойчивым
                        y                              y



                                 x                            x




    Рис. 14. Вырожденный узел                  Рис. 15. Дикритический узел


узлом. Геометрически, вырожденный устойчивый узел занимает
промежуточное положение между ситуациями A1 и B2, так как
при сколь угодно малом изменении действительных коэффици-
ентов a11, a12, a21, a22 она может превратиться как в устой-
чивый узел типа A1, так и в устойчивый фокус. Качественное
поведение интегральных кривых в окрестности вырожденного
узла показано на рисунке 14.
                                         115

Страницы