Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

замене t →−t, мы имеем ситуацию A
1
. Траектории имеют
тот же вид, только точка по траектории движется от начала
координат и при больших значениях t точки, которые в момент
времени t
0
находились вблизи начала координат, удаляются из
ε-окрестности начала координат. Это — неустойчивый узел.
A
3
.λ
1
> 0,λ
2
< 0; пусть λ
1
= p
2
,λ
2
= −q
2
.
Точка покоя неустойчива, так как
x
y
Рис. 11. Седло.
взяв решение x(t)==C
1
α
1
e
p
2
t
,y(t)=
C
1
α
2
e
p
2
t
(т.е. положив C
2
=0), полу-
чим, что точка по прямой y =
α
2
α
1
x
удаляется от начала координат, при t>
t
0
она покидает ε-окрестность начала
координат (x, y)=(0, 0).
Вместе с тем существует другая прямая (при C
1
=0)
x(t)=C
2
β
1
e
−q
2
t
,y(t)=C
2
β
2
e
−q
2
t
, то есть y =
β
2
β
1
x, где точки
(x, y) → (0, 0). Если же и C
1
=0, и C
2
=0, то как при
t → +∞, так и при t →−∞, точка покидает начало коорди-
нат. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом, а
прямые y =
α
2
α
1
x и y =
β
2
β
1
x, вдоль которых точка или убега-
ет от начала координат, или приближается к нему, называются
сепаратриссами седла. Качественное поведение интегральных
кривых в окрестности точки покоя изображено на рисунке 11.
B. Корни λ
1
и λ
2
характеристического уравнения ком-
плексные: λ
1
= α + iβ, λ
2
= α −iβ. Решение системы в этом
случае может быть записано в виде
113
замене t → − t, мы имеем ситуацию A1. Траектории имеют
тот же вид, только точка по траектории движется от начала
координат и при больших значениях t точки, которые в момент
времени t0 находились вблизи начала координат, удаляются из
ε-окрестности начала координат. Это — неустойчивый узел.
     A3. λ1 > 0, λ2 < 0; пусть λ1 = p 2, λ2 = −q 2 .
     Точка покоя неустойчива, так как
                                                         y
                                p2 t
взяв решение x(t) = = C1α1e ,            y(t) =
       2
C1α2ep t (т.е. положив C2 = 0 ), полу-                                x

чим, что точка по прямой y = α    2
                                 α1 x
удаляется от начала координат, при t >
t0 она покидает ε-окрестность начала              Рис. 11.   Седло.

координат (x, y) = (0, 0).
Вместе с тем существует другая прямая (при C1 = 0)
               2                2               β2 x, где точки
x(t) = C2β1e−q t, y(t) = C2β2e−q t, то есть y = β
                                                 1
(x, y) → (0, 0). Если же и C1 = 0, и C2 = 0, то как при
t → +∞, так и при t → −∞, точка покидает начало коорди-
нат. Точка покоя рассматриваемого типа называется седлом, а
прямые y = α α2 x и y = β2 x, вдоль которых точка или убега-
              1          β1
ет от начала координат, или приближается к нему, называются
сепаратриссами седла. Качественное поведение интегральных
кривых в окрестности точки покоя изображено на рисунке 11.
     B. Корни λ1 и λ2 характеристического уравнения ком-
плексные: λ1 = α + iβ,       λ2 = α − iβ. Решение системы в этом
случае может быть записано в виде


                                   113

Страницы