Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C
2
. При β
1
= β
2
=0 получаем еще один тип устойчивого
узла, так называемый дикритический узел (см. рисунок 15).
C
3
.λ>0, пусть λ = p
2
. При замене t →−t полу-
чим ситуацию C
1
или C
2
. В данном случае, хотя интегральные
кривые и сохраняют ту же форму, но точки вдоль них бегут в
противоположном направлении. Имеем или вырожденный или
дикритический неустойчивый узел.
II. Δ = 0. Случаи A, B, C исключают ситуацию, ко-
гда один из корней характеристического полинома является ну-
левым, ибо при рассмотрении этих случаев определитель Δ ≡
(a
11
a
22
− a
12
a
21
) =0, а характеристическое уравнение имеет
вид λ
2
− (a
11
+ a
22
)λ +Δ=0. D. Пусть теперь Δ=0 и
λ
2
− (a
11
+ a
22
)λ =0. Тогда λ · [λ − (a
11
+ a
22
)] = 0 и, следова-
тельно, возможны два решения: λ
1
=0 и λ
2
= a
11
+ a
22
=0.
Общее решение системы уравнений в рассматриваемой ситуации
имеет вид
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x(t)=C
1
α
1
+ C
2
β
1
e
λ
2
t
,
y(t)=C
1
α
2
+ C
2
β
2
e
λ
2
t
.
Исключим из этих двух уравнений переменную t, получим
y −C
1
α
2
x − C
1
α
1
=
β
2
β
1
,
то есть имеем семейство прямых
β
2
(x − C
1
α
1
) − β
1
(y −C
1
α
2
)=0,
которое при любых значениях C
1
является семейством прямых,
параллельных друг другу. При C
2
=0имеем
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x = C
1
α
1
,
y = C
1
α
2
,
то
есть y =
α
2
α
1
x − целая прямая точек покоя.
116
    C2. При β1 = β2 = 0 получаем еще один тип устойчивого
узла, так называемый дикритический узел (см. рисунок 15).
    C3. λ > 0, пусть λ = p 2. При замене t → − t полу-
чим ситуацию C1 или C2. В данном случае, хотя интегральные
кривые и сохраняют ту же форму, но точки вдоль них бегут в
противоположном направлении. Имеем или вырожденный или
дикритический неустойчивый узел.
    II. Δ = 0. Случаи A, B, C исключают ситуацию, ко-
гда один из корней характеристического полинома является ну-
левым, ибо при рассмотрении этих случаев определитель Δ ≡
(a11a22 − a12a21) = 0, а характеристическое уравнение имеет
вид λ2 − (a11 + a22)λ + Δ = 0. D. Пусть теперь Δ = 0 и
λ2 − (a11 + a22)λ = 0. Тогда λ · [λ − (a11 + a22)] = 0 и, следова-
тельно, возможны два решения: λ1 = 0 и λ2 = a11 + a22 = 0.
Общее решение системы уравнений в рассматриваемой ситуации
имеет вид          ⎧
                   ⎪
                   ⎪
                   ⎨   x(t) = C1α1 + C2β1eλ2t ,
                   ⎪
                   ⎪
                   ⎩   y(t) = C1α2 + C2β2eλ2t .
Исключим из этих двух уравнений переменную t, получим
                       y − C1α2 β2
                               = ,
                       x − C1α1 β1
то есть имеем семейство прямых

                β2(x − C1α1) − β1(y − C1α2) = 0,

которое при любых значениях C1 является семейством
                                            ⎧
                                                   прямых,
                                            ⎪
                                            ⎪
                                            ⎨ x = C1 α1 ,
параллельных друг другу. При C2 = 0 имеем ⎪ ⎪
                                                          то
                                            ⎩ y = C α ,
                                                   1 2
         α
есть y = α21 x − целая прямая точек покоя.
                                 116

Страницы