Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

D
1
.λ
2
< 0. Пусть λ = −q
2
.
При t →∞ точки на каждой траектории приближаются к
точке покоя x = c
1
α
1
,y= c
1
α
2
. Точка покоя x =0,y=0 яв-
ляется точкой устойчивости, но асимптотической устойчивости
нет.
D
2
.λ
2
> 0. Пусть λ = q
2
.
x
y
Рис. 16.
При замене t →−t приходим к случаю D
1
.
Однако при λ = q
2
движение происходит в про-
тивоположном направлении и точка покоя x =
0,y=0, как и множество точек покоя, лежащих
на прямой y =
α
2
α
1
x, неустойчива.
На рисунке 16 схематично изображено рас-
положение траекторий около прямой точек покоя. Стрелками
показано направление движения по траекториям при возраста-
нии t.
E. Осталось рассмотреть последний случай, когда оба кор-
ня характеристического уравнения равны нулю: λ
1
=0, и λ
2
=0.
При этом a
11
+ a
22
=0, Δ=a
11
a
22
− a
12
a
21
=0.
Положим a
11
≡ a, тогда a
22
= − a. Из Δ=0
следует
a
a
12
= −
a
21
a
≡ ν, то есть a
12
=
a
ν
,a
21
= − νa. В
терминах этих обозначений наша система запишется в виде:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
˙x = ax +
1
ν
ay,
˙y = −νax − ay,
или
dy
dx
= −
νx + y
x +
1
/
ν
y
= −ν.
Таким образом,
E
1
.x= C
1
,y= C
2
. Каждая точка на плоскости есть
точка покоя. Все решения устойчивы.
117
D1. λ2 < 0. Пусть λ = −q 2.
При t → ∞ точки на каждой траектории приближаются к
точке покоя x = c1α1, y = c1α2. Точка покоя x = 0, y = 0 яв-
ляется точкой устойчивости, но асимптотической устойчивости
нет.
                           D2. λ2 > 0. Пусть λ = q 2.
       y
                      При замене t → − t приходим к случаю D1.
                  x
                      Однако при λ = q 2 движение происходит в про-
                      тивоположном направлении и точка покоя x =
                      0, y = 0, как и множество точек покоя, лежащих
                      на прямой y = α α2 x, неустойчива.
                                       1
   Рис. 16.                На рисунке 16 схематично изображено рас-
положение траекторий около прямой точек покоя. Стрелками
показано направление движения по траекториям при возраста-
нии t.
       E. Осталось рассмотреть последний случай, когда оба кор-
ня характеристического уравнения равны нулю: λ1 = 0, и λ2 = 0.
При этом a11 + a22 = 0, Δ = a11a22 − a12a21 = 0.
    Положим a11 ≡ a, тогда a22 =                    − a. Из Δ = 0
         a     a21                                  a
следует     =−     ≡ ν, то есть a12 =                 , a21 = − νa. В
        a12     a                                   ν
терминах этих обозначений наша система             запишется в виде:
           ⎧
           ⎪
           ⎪
           ⎨   ẋ = ax + ν1 ay,           dy      νx + y
           ⎪                      или        = −           = −ν.
           ⎪
           ⎩   ẏ = −νax − ay,            dx     x + 1/ν y
Таким образом,
       E1. x = C1, y = C2.              Каждая точка на плоскости есть
точка покоя. Все решения устойчивы.

                                        117

Страницы