Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4. Особой точкой (центром) си-
x
y
Рис. 20. Центр
стемы дифференциальных уравнений
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
˙y =2x +2y,
˙x = −2x −5y
является начало координат — точка (0, 0). На
рисунке 20 показано расположение интеграль-
ных кривых этой системы, полученных числен-
ным интегрированием в пакете "Математика".
Пример 5. Особыми точками системы
2
4
x
1
2
y
Рис. 21. Узел + фокус
дифференциальных уравнений
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
˙y =4y
2
− x
2
,
˙x =2xy − 4e − 8
являются две точки: (−2, −1) и (4, 2). Пер-
вая особая точка — фокус, вторая особая точка
— узел. На рисунке 21 показано расположение
интегральных кривых этой системы. Рисунок
получен численным интегрированием в пакете "Математика".
Пример 6. Особыми точками систе-
1
1
1
1
y
Рис. 22. Фокус + седло
мы дифференциальных уравнений
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
˙y =4y
2
− x
2
,
˙x =2xy − 4e − 8
являются две точки: (−1, −1) и (1, 1).
Первая особая точка — седло, вторая осо-
бая точка — фокус. На рисунке 22 показа-
но расположение интегральных кривых этой
системы. Рисунок получен численным интегрированием в пакете "Матема-
тика".
Подводя итоги, заметим, что если оба корня характеристи-
ческого уравнения имеют отрицательные вещественные части,
то решение x =0,y=0 асимптотически устойчиво. Если хотя
119
     Пример 4. Особой точкой (центром) си-
                                                                        y
стемы дифференциальных уравнений
                  ⎧
                  ⎪
                  ⎨   ẏ = 2x + 2y,
                  ⎪
                  ⎩   ẋ = −2x − 5y
                                                                                    x

является начало координат — точка (0, 0). На
рисунке 20 показано расположение интеграль-
ных кривых этой системы, полученных числен-
ным интегрированием в пакете "Математика".     Рис. 20. Центр
                               Пример 5. Особыми точками системы
           y
                         дифференциальных уравнений
                                              ⎧
                                              ⎪
                                              ⎨   ẏ = 4y 2 − x2 ,
                                              ⎪
                                              ⎩   ẋ = 2xy − 4e − 8
              2




        2             4
                            x
             1

                                 являются две точки: (−2, −1) и (4, 2). Пер-
                         вая особая точка — фокус, вторая особая точка
                         — узел. На рисунке 21 показано расположение
   Рис. 21. Узел + фокус интегральных кривых этой системы. Рисунок
получен численным интегрированием в пакете "Математика".
     Пример 6. Особыми точками систе-
                                                                    y
мы дифференциальных уравнений
              ⎧
              ⎪
              ⎨   ẏ = 4y 2 − x2 ,
              ⎪
                                                                    1

              ⎩   ẋ = 2xy − 4e − 8
                                                              1            1
                                                                                x
являются две точки: (−1, −1) и (1, 1).                             1




Первая особая точка — седло, вторая осо-
бая точка — фокус. На рисунке 22 показа-
но расположение интегральных кривых этой     Рис. 22. Фокус + седло
системы. Рисунок получен численным интегрированием в пакете "Матема-
тика".
     Подводя итоги, заметим, что если оба корня характеристи-
ческого уравнения имеют отрицательные вещественные части,
то решение x = 0, y = 0 асимптотически устойчиво. Если хотя
                                        119

Страницы