Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ваемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности
начала координат следующим условиям:
1) V (x
1
,x
2
, ..., x
n
) ≥ 0, причём V (x
1
,x
2
, ..., x
n
)=0лишь
при x
i
=0, (i =1, 2, ..., n), то есть функция Ляпунова V
имеет строгий минимум в начале координат;
2)
dV
dt
=
n
i=1
∂V
∂x
i
f
i
(t, x
1
,x
2
, ... , x
n
) ≤ 0 при t ≥ t
0
,
то точка покоя x
i
=0 (i =1, 2, ..., n) устойчива.
Замечание. В теореме предполагается, что производная
dV
dt
из условия 2) взята вдоль интегральной кривой, то есть она
вычислена в предположении, что аргументы x
i
(i =1, 2, ..., n)
функции V (x
1
,x
2
, ..., x
n
) заменены решениями x
i
(t)(i =
=1, 2, ..., n) системы уравнений (16.1). Действительно, если это
так, то
dV
dt
=
n
i=1
∂V
∂x
i
dx
i
dt
=
n
i=1
∂V
∂x
i
f
i
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
).
Доказательство. Для нагляд-
окрестность
окрестность
Рис. 23.
ности рисунки будем делать только для
случая двух независимых функций x
1
(t),
x
2
(t). В окрестности начала коорди-
нат, как и в окрестности всякой точки
строгого минимума, поверхности уров-
ня V (x
1
,x
2
, ..., x
n
)=C являются за-
мкнутыми поверхностями, внутри кото-
рых находится точка строгого минимума. (Например, для слу-
чая функции двух переменных z = V (x
1
,x
2
) сечение z = C
(C = const) задаёт замкнутую кривую, (см. рисунок 23)).
121
ваемая функцией Ляпунова, удовлетворяющая в окрестности
начала координат следующим условиям:
    1) V (x1, x2, ..., xn) ≥ 0, причём V (x1, x2, ..., xn) = 0 лишь
при xi = 0, (i = 1, 2, ..., n), то есть функция Ляпунова V
имеет строгий минимум в начале координат;
              n ∂V
    2) dV
              
       dt  =         fi(t, x1, x2, ... , xn) ≤ 0 при t ≥ t0,
             i=1 ∂xi
    то точка покоя xi = 0 (i = 1, 2, ..., n) устойчива.
    Замечание. В теореме предполагается, что производная
dV из условия 2) взята вдоль интегральной кривой, то есть она
 dt
вычислена в предположении, что аргументы xi (i = 1, 2, ..., n)
функции       V (x1, x2, ..., xn)        заменены решениями      xi(t)   (i =
= 1, 2, ..., n) системы уравнений (16.1). Действительно, если это
так, то
           dV    n ∂V dxi
                              n ∂V
                               
              =             =          fi(t, x1, x2, ..., xn).
           dt   i=1 ∂x i dt   i=1 ∂x i
                                          Доказательство.      Для нагляд-
                                     ности рисунки будем делать только для
                                     случая двух независимых функций x1(t),
                                     x2(t).    В окрестности начала коорди-
                     окрестность     нат, как и в окрестности всякой точки
                       окрестность
                                     строгого минимума, поверхности уров-
                                     ня V (x1, x2, ..., xn) = C являются за-
          Рис. 23.                   мкнутыми поверхностями, внутри кото-
рых находится точка строгого минимума. (Например, для слу-
чая функции двух переменных z = V (x1, x2) сечение z = C
(C = const) задаёт замкнутую кривую, (см. рисунок 23)).

                                              121

Страницы