Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Зададимся ε>0. При достаточно малом C>0 поверхность
уровня V (x
1
,x
2
, ..., x
n
)=C целиком лежит в ε-окрестности
начала координат, но не проходит через начало системы коор-
динат (рис. 24). Следовательно, можно подобрать такое δ>
0, что δ-окрестность начала координат целиком лежит внут-
ри поверхности V (x
1
,x
2
, ..., x
n
)=C, причем V<Cв этой
окрестности. Если начальная точка с координатами x
i
(t
0
), (i =
1, 2, ..., n) выбрана в δ-окрестности, и, следовательно, выполня-
ется неравенство V (x
1
(t
0
),x
2
(t
0
), ..., x
n
(t
0
)) <C
1
<C, то при
t ≥ t
0
, точка траектории не может выйти за пределы вы-
бранной ε-окрестности, так как в силу условия (2) функция
V (x
1
(t),x
2
(t), ... , x
n
(t)) = C не возрастает и поэтому
V (x
1
(t),x
2
(t), ... , x
n
(t)) <C
1
<C.
Пример.
å
ä
Vx,x()
12
()x t ),x (t )
10 20
(
x
1
x
2
Рис. 24.
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
dx
dt
= −xy
4
,
dy
dt
= yx
4
.
Рассмотрим V (x, y)=x
4
+ y
4
. Эта функция удо-
влетворяет условию 1) теоремы: x
4
+ y
4
> 0 и
x
4
+ y
4
=0 тогда и только тогда, когда x =0
и y =0. Условие 2) для нашей задачи имеет вид
dV
dt
=4x
3
(−xy
4
)+4y
3
(yx
4
) ≡ 0, и, следовательно, по теореме Ляпунова
точка покоя x =0,y=0устойчива.
Теорема 2 (теорема А.М. Ляпунова об асимптотической
устойчивости).
Если существует дифференцируемая функция, называемая
функцией Ляпунова, V (x
1
,x
2
, ..., x
n
), удовлетворяющая в
окрестности начала координат следующим условиям:
122
     Зададимся ε > 0. При достаточно малом C > 0 поверхность
уровня V (x1, x2, ..., xn) = C целиком лежит в ε-окрестности
начала координат, но не проходит через начало системы коор-
динат (рис. 24). Следовательно, можно подобрать такое δ >
0, что δ-окрестность начала координат целиком лежит внут-
ри поверхности V (x1, x2, ..., xn) = C, причем V < C в этой
окрестности. Если начальная точка с координатами xi(t0), (i =
1, 2, ..., n) выбрана в δ-окрестности, и, следовательно, выполня-
ется неравенство V (x1(t0), x2(t0), ..., xn(t0)) < C1 < C, то при
t ≥ t0, точка траектории не может выйти за пределы вы-
бранной ε-окрестности, так как в силу условия (2) функция
V (x1(t), x2(t), ... , xn(t))       =     C     не возрастает и поэтому
V (x1(t), x2(t), ... , xn(t)) < C1 < C.
     Пример.
                                                                      x2        V(x1,x2)
                 ⎧
                 ⎪
                 ⎪   dx = −xy 4 ,
                 ⎨
                     dt
                 ⎪
                 ⎪   dy = yx4 .
                 ⎩                                          (x1( t0),x2 (t0))
                     dt                                                                    x1
                                                        å                  ä
                          4    4
Рассмотрим V (x, y) = x + y . Эта функция удо-
влетворяет условию 1) теоремы: x4 + y 4 > 0 и
x4 + y 4 = 0 тогда и только тогда, когда x = 0
                                                             Рис. 24.
и y = 0. Условие 2) для нашей задачи имеет вид
dV = 4x3 (−xy 4 ) + 4y 3 (yx4 ) ≡ 0, и, следовательно, по теореме Ляпунова
 dt
точка покоя x = 0, y = 0 устойчива.
     Теорема 2 (теорема А.М. Ляпунова об асимптотической
устойчивости).
     Если существует дифференцируемая функция, называемая
функцией Ляпунова,            V (x1, x2, ..., xn),   удовлетворяющая в
окрестности начала координат следующим условиям:

                                        122

Страницы