Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

˜
C ≥ a>0, то траектория будет находиться при t ≥ T>t
0
вне
некоторой δ
1
-окрестности начала координат и, согласно усло-
вию 3) теоремы, будет выполнено
dV
dt
≤−β<0,t≥ T.
Умножая на dt это неравенство (dt > 0, так как параметр t
растет) и интегрируя от T до t, получим
V (x
1
(t),x
2
(t), ..., x
n
(t)) −V (x
1
(T ),x
2
(T ), ..., x
n
(T )) ≤−β(t −T )
или
V (x
1
(t),x
2
(t), ..., x
n
(t)) ≤ V (x
1
(T ),x
2
(T ), ..., x
n
(T )) −β(t − T ).
Из последнего соотношения видно, что при неограниченном ро-
сте t во втором слагаемом можно добиться того, чтобы выпол-
нялось неравенство V (x
1
(t),x
2
(t), ..., x
n
(t)) ≤ 0. Налицо явное
противоречие, которое и доказывает теорему.
Пример.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
dx
dt
= −y − x
3
,
dy
dt
= x − y
3
.
Рассмотрим V (x, y)=x
2
+ y
2
.
Очевидно, что V (x, y) > 0, причём V (x, y)=0⇔ x =0,y =0.
Второе условие теоремы Ляпунова имеет вид
dV
dt
=2x(−y − x
3
)+2y(x − y
3
)=−2(x
4
+ y
4
) ≤ 0,
причём вне окрестности начала координат
dV
dt
≤ β<0. Сле-
довательно, решение x =0,y=0 асимптотически устойчиво.
124
C̃ ≥ a > 0, то траектория будет находиться при t ≥ T > t0 вне
некоторой δ1-окрестности начала координат и, согласно усло-
вию 3) теоремы, будет выполнено dVdt ≤ −β < 0, t ≥ T.
Умножая на dt это неравенство (dt > 0, так как параметр t
растет) и интегрируя от T до t, получим

V (x1(t), x2(t), ..., xn (t)) − V (x1(T ), x2(T ), ..., xn(T )) ≤ −β(t − T )

или

V (x1(t), x2(t), ..., xn (t)) ≤ V (x1(T ), x2(T ), ..., xn (T )) − β(t − T ).

Из последнего соотношения видно, что при неограниченном ро-
сте t во втором слагаемом можно добиться того, чтобы выпол-
нялось неравенство V (x1(t), x2(t), ..., xn (t)) ≤ 0. Налицо явное
противоречие, которое и доказывает теорему.

      Пример.               ⎧
                         dx = −y − x3,
                            ⎪
                            ⎪
                            ⎪
                            ⎪
                            ⎨
                         dt
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎩
                         dy = x − y 3.
                         dt
Рассмотрим V (x, y) = x2 + y 2.
Очевидно, что V (x, y) > 0, причём V (x, y) = 0 ⇔ x = 0, y = 0.
Второе условие теоремы Ляпунова имеет вид
      dV
          = 2x(−y − x3) + 2y(x − y 3) = −2(x4 + y 4) ≤ 0,
       dt
причём вне окрестности начала координат dV dt ≤ β < 0. Сле-
довательно, решение x = 0, y = 0 асимптотически устойчиво.



                                     124

Страницы