Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 3 (теорема Четаева о неустойчивости).
Если существует дифференцируемая функция V (x
1
,x
2
, ..., x
n
) , удо-
влетворяющая в некоторой замкнутой h-окрестности начала координат
условиям
1) в сколь угодно малой окрестности U начала координат существу-
ет область (на рисунке (25) обозначенная V>0),вкоторойV (x
1
,x
2
, ..., x
n
)
> 0, причём V (x
1
,x
2
, ..., x
n
)=0 на лежащей в U части границы обла-
сти V>0;
2) в области (V>0) производная
dV
dt
=
n
i=1
∂V
∂x
i
f
i
(t, x
1
,x
2
, ... , x
n
) > 0;
причём
3) в области V>α, α>0, производная
dV
dt
≥ β>0, где β —
постоянная,
то точка x
i
=0 (i =1, 2, ..., n) неустойчива.
Доказательство. Начальную точку x
i
(t
0
),
x
y
V>0
V<0
V=0
V<0
V>0
V=0
Рис. 25.
(i =1, 2, ..., n) возьмём в сколь угодно малой ок-
рестности начала координат в области V>0
V (x
1
,x
2
, ..., x
n
)=α>0. Так как вдоль траекто-
рии
dV
dt
≥ 0, то функция V (x
1
,x
2
, ..., x
n
)
вдоль траектории не убывает и, следовательно, по-
ка траектория не покинет рассматриваемую h-
окрестность начала координат, где выполнены усло-
вия теоремы, траектория должна находиться в об-
ласти V>α.Допустим, что траектория не покидает h-окрестности на-
чала координат. Тогда, в силу условия 3), вдоль траектории при t ≥ t
0
dV
dt
≥ β>0. Умножим это неравенство на dt (dt > 0) и проинтегрируем.
Получим
V (x
1
(t),x
2
(t), ..., x
n
(t)) − V (x
1
(t
0
),x
2
(t
0
), ..., x
n
(t
0
)) ≥ β(t − t
0
).
Отсюда следует, что при t →∞ функция V (x
1
,x
2
, ..., x
n
) вдоль траекто-
рии неограниченно возрастает, что находится в противоречии с предположе-
нием о том, что траектория не выходит за рамки замкнутой h-окрестности
125
     Теорема 3 (теорема Четаева о неустойчивости).
     Если существует дифференцируемая функция V (x1 , x2 , ..., xn ) , удо-
влетворяющая в некоторой замкнутой h-окрестности начала координат
условиям
     1) в сколь угодно малой окрестности U начала координат существу-
ет область (на рисунке (25) обозначенная V > 0), в которой V (x1 , x2 , ..., xn )
> 0, причём V (x1 , x2 , ..., xn ) = 0 на лежащей в U части границы обла-
сти V > 0;
    2) в области (V > 0) производная
                       dV   n ∂V
                          =         fi (t, x1 , x2 , ... , xn ) > 0;
                       dt   i=1 ∂xi

причём
       3) в области V > α, α > 0, производная dV       dt ≥ β > 0, где β —
постоянная,
       то точка xi = 0 (i = 1, 2, ..., n) неустойчива.
       Доказательство. Начальную точку xi (t0 ),
                                                                 y
(i = 1, 2, ..., n) возьмём в сколь угодно малой ок-                  V>0
рестности начала координат в области V > 0                 V<0
V (x1 , x2 , ..., xn ) = α > 0. Так как вдоль траекто-
рии dV   dt ≥ 0, то функция V (x1 , x2 , ..., xn )
                                                                          x


вдоль траектории не убывает и, следовательно, по- V = 0 V > 0       V<0

ка траектория не покинет рассматриваемую h-
                                                            V=0
окрестность начала координат, где выполнены усло-
                                                              Рис. 25.
вия теоремы, траектория должна находиться в об-
ласти V > α. Допустим, что траектория не покидает h-окрестности на-
чала координат. Тогда, в силу условия 3), вдоль траектории при t ≥ t0
dV ≥ β > 0. Умножим это неравенство на dt (dt > 0) и проинтегрируем.
 dt
Получим

      V (x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)) − V (x1 (t0 ), x2 (t0 ), ..., xn (t0 )) ≥ β(t − t0 ).

Отсюда следует, что при t → ∞ функция V (x1 , x2 , ..., xn ) вдоль траекто-
рии неограниченно возрастает, что находится в противоречии с предположе-
нием о том, что траектория не выходит за рамки замкнутой h-окрестности

                                              125

Страницы