Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

После этого исходная система принимает искомый вид (16.3),
где
a
ik
=
∂f
i
(t, 0, 0, ..., 0)
∂x
k
,
R
i
= f
i
(t, 0, 0, ..., 0) +
n
k
n
j=1
∂
2
f
i
(t, θ
1
x
1
,θ
2
x
2
, ..., θ
n
x
n
)
∂x
k
∂x
j
x
k
x
j
.
Если R
i
имеют порядок малости выше первого относи-
тельно
(
n
i=1
x
2
i
, то исследуют на устойчивость точку x
i
=
0(i =1, 2, ..., n) линейной системы
dx
i
dt
=
n
k=1
a
ik
(t) x
k
, (16.4)
которую называют системой первого приближения. Исследова-
ние на устойчивость такой системы много легче, чем исследова-
ние исходной системы, однако при a
ik
, зависящих от t, задача
весьма не проста. В случаях же, когда a
ik
= const, (система
дифференциальных уравнений в этом случае называется ста-
ционарной), исследование на устойчивость заметно упрощается
и, на основании изученного нами ранее материала, мы можем
сформулировать следующий результат.
Теорема (об устойчивости по первому приближению).
Если:
1) система дифференциальных уравнений (16.2) стацио-
нарна по первому приближению;
2) все члены R
i
в достаточно малой окрестности начала
координат при t ≥ T>t
0
удовлетворяют неравенству
|R
i
|≤N
⎛
⎝
n
i=1
x
2
i
⎞
⎠
α+
1
/
2
,
127
После этого исходная система принимает искомый вид (16.3),
где
                                   ∂fi(t, 0, 0, ..., 0)
                               aik =                     ,
                                          ∂xk
                                 n 
                                   n ∂ 2 fi (t, θ1 x1 , θ2 x2 , ..., θn xn )
      Ri = fi(t, 0, 0, ..., 0) +                                              xk xj .
                                 k j=1              ∂x   k ∂x j
       Если( Ri имеют порядок малости выше первого относи-
               n
               
тельно               x2i ,   то исследуют на устойчивость точку               xi =
               i=1
0 (i = 1, 2, ..., n) линейной системы
                                 dxi    n
                                        
                                     =     aik (t) xk ,                      (16.4)
                                 dt    k=1

которую называют системой первого приближения. Исследова-
ние на устойчивость такой системы много легче, чем исследова-
ние исходной системы, однако при aik , зависящих от t, задача
весьма не проста. В случаях же, когда aik = const, (система
дифференциальных уравнений в этом случае называется ста-
ционарной), исследование на устойчивость заметно упрощается
и, на основании изученного нами ранее материала, мы можем
сформулировать следующий результат.
       Теорема (об устойчивости по первому приближению).
       Если:
       1) система дифференциальных уравнений (16.2) стацио-
нарна по первому приближению;
       2) все члены Ri в достаточно малой окрестности начала
координат при t ≥ T > t0 удовлетворяют неравенству
                                          ⎛            1
                                                    ⎞α+ /
                                              n
                                                          2
                               |Ri| ≤ N   ⎝        2⎠
                                                  xi           ,
                                          i=1


                                          127

Страницы