Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Γ=
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
a
1
1000... 0
a
3
a
2
a
1
10... 0
a
5
a
4
a
3
a
2
a
1
... 0
a
7
a
6
a
5
a
4
a
3
... 0
............................
00000... a
n
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
.
По главной диагонали матрицы Гурвица стоят коэффици-
енты рассматриваемого многочлена в порядке их нумерации,
начиная с a
1
до a
n
. Столбцы состоят поочередно из коэф-
фициентов только с нечетными или только четными индексами,
включая a
0
=1. Все недостающие коэффициенты, т.е. коэф-
фициенты с индексами n>0 или n<0, заменяются нулями.
Главные диагональные миноры матрицы Гурвица обозна-
чим следующим образом:
Δ
1
= a
1
, Δ
2
=
a
1
1
a
3
a
2
, Δ
3
=
a
1
10
a
3
a
2
a
1
a
5
a
4
a
3
, ... , Δ
n
=detΓ.
Заметим, что поскольку Δ
n
=Δ
n−1
· a
n
, последнее из
условий Гурвица Δ
1
> 0, Δ
2
> 0, ... , Δ
n
> 0 может быть
заменено требованием a
n
> 0.
Примеры.
1. Если характеристическое уравнение имеет вид
z
2
+ a
1
z + a
2
=0,
129
                           )                                )
                           )                                )
                           )                                )
                           )
                           )
                               a1 1 0 0 0 ... 0             )
                                                            )
                           )                                )
                           )                                )
                           )
                           )   a3 a2 a1 1 0 ... 0           )
                                                            )
                           )                                )
                           )                                )
                           )   a5 a4 a3 a2 a1 ... 0         )
                           )                                )
                      Γ=   )                                )        .
                           )                                )
                           )                                )
                           )
                           )
                               a7 a6 a5 a4 a3 ... 0         )
                                                            )
                           )                                )
                           )                                )
                           )   ............................ )
                           )                                )
                           )                                )
                           )                                )
                           )                                )
                           )   0 0 0 0 0 ... a            n )


    По главной диагонали матрицы Гурвица стоят коэффици-
енты рассматриваемого многочлена в порядке их нумерации,
начиная с a1 до an. Столбцы состоят поочередно из коэф-
фициентов только с нечетными или только четными индексами,
включая a0 = 1. Все недостающие коэффициенты, т.е. коэф-
фициенты с индексами n > 0 или n < 0, заменяются нулями.
    Главные диагональные миноры матрицы Гурвица обозна-
чим следующим образом:
                                                                
                                                                
                                                              
                                             
                                               
                                                   a1 1 0        
                                                                 
                     a1 1                                     
                                                              
  Δ1 = a1, Δ2 =                , Δ3 = a3 a2 a                     , ... , Δn = det Γ.
                  
                  
                             
                                                            1 
                     a3 a                                      
                           2                  
                                               
                                                                 
                                                                 
                                                  a5 a4 a    3 

    Заметим, что поскольку Δn = Δn−1 · an, последнее из
условий Гурвица Δ1 > 0, Δ2 > 0, ... , Δn > 0 может быть
заменено требованием an > 0.
    Примеры.
    1. Если характеристическое уравнение имеет вид

                           z 2 + a1z + a2 = 0,



                                         129

Страницы