Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

то условия Гурвица
Δ
1
= a
1
> 0, Δ
2
=
a
1
1
0 a
2
> 0 ⇒ a
2
> 0.
2. Характеристическое уравнение имеет вид
z
3
+ a
1
z
2
+ a
2
z + a
3
=0,
тогда условия Гурвица
Δ
1
= a
1
> 0, Δ
2
=
a
1
1
a
3
a
2
= a
1
a
2
− a
3
> 0,
Δ
3
=
a
1
10
a
3
a
2
a
1
00a
3
> 0 ⇒ a
3
> 0.
3. Характеристическое уравнение имеет вид
z
4
+ a
1
z
3
+ a
2
z
2
+ a
3
z + a
4
=0,
тогда условия Гурвица
Δ
1
= a
1
> 0, Δ
2
=
a
1
1
a
3
a
2
= a
1
a
2
− a
3
> 0,
Δ
3
=
a
1
10
a
3
a
2
a
1
0 a
4
a
3
> 0 ⇒ (a
1
a
2
− a
3
) a
3
− a
2
1
a
4
> 0,
Δ
4
> 0 ⇒ a
4
> 0.
Пример. Исследовать на устойчивость по первому приближению си-
стему:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
˙x =2x +8siny,
˙y =2− e
x
− 3y −cos y.
130
то условия Гурвица
                                                             
                                                             
                                               a1 1          
                                                             
          Δ1 = a1 > 0, Δ2 =                 
                                            
                                            
                                                              
                                                              
                                                              
                                                                  > 0 ⇒ a2 > 0.
                                               0       a   2 

    2. Характеристическое уравнение имеет вид

                      z 3 + a1z 2 + a2z + a3 = 0,

тогда условия Гурвица
                                                       
                                                       
                                           a1 1        
                                                       
        Δ1 = a1 > 0, Δ2 =               
                                        
                                        
                                                        
                                                        
                                                        
                                                             = a1a2 − a3 > 0,
                                           a3 a      2 
                                               
                                               
                                               
                          
                          
                              a1 1 0            
                                                
                                               
                                               
                   Δ3 = a3 a2 a
                          
                                            1      > 0 ⇒ a3 > 0.
                                               
                                               
                             0     0       a   
                                             3 

    3. Характеристическое уравнение имеет вид

                   z 4 + a1z 3 + a2z 2 + a3z + a4 = 0,

тогда условия Гурвица
                                                       
                                                       
                                           a1 1        
                                                       
        Δ1 = a1 > 0, Δ2 =               
                                        
                                        
                                                        
                                                        
                                                        
                                                             = a1a2 − a3 > 0,
                                           a3 a      2 
                         
                         
                         
           
           
               a1 1   0   
                          
                         
                         
      Δ3 = a3 a2 a
           
                      1        > 0 ⇒ (a1a2 − a3) a3 − a21 a4 > 0,
                         
                         
              0   a4 a   
                      3 

                              Δ4 > 0 ⇒ a4 > 0.
     Пример. Исследовать на устойчивость по первому приближению си-
стему:              ⎧
                    ⎪
                    ⎨ ẋ = 2x + 8 sin y,
                    ⎪
                    ⎩ ẏ = 2 − ex − 3y − cos y.


                                                130

Страницы