Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

∂z(x, y)
∂x
= x + y.
Оно легко интегрируется, его решение имеет вид z =
1
2
x
2
+ xy +
ϕ(y), где ϕ(y) — произвольная функция y.
Пример 2.
∂
2
z
∂x∂y
=1.
Решение этого дифференциального уравнения также не вызы-
вает затруднений:
∂
∂x
∂z
∂y
=1, откуда
∂z
∂y
= x + A(y) и,
следовательно, z = xy +
A(y) dy + B(x). Здесь A(y) и
B(x) — произвольные функции указанных в скобках аргумен-
тов.
Примеры показывают, что общее решение дифференциаль-
ного уравнения в частных производных первого порядка содер-
жит одну произвольную функцию, а уравнение второго порядка
— две произвольные функции, и так далее...
Предположения нуждаются в строгом обосновании. С. Ковалев-
ской была доказана следующая теорема существования и един-
ственности решения уравнения в частных производных.
Прежде чем сформулировать эту терему, напомним опре-
деление аналитической функции.
Определение. Функция f(x
1
,x
2
, ..., x
n
) называется ана-
литической в окрестности точки M
0
(
◦
x
1
,
◦
x
2
, ... ,
◦
x
n
), если
данная функция может быть разложена в степенной ряд, сходя-
щийся в некоторой окрестности этой точки к самой этой функ-
ции.
132
                       ∂z(x, y)
                                = x + y.
                         ∂x
Оно легко интегрируется, его решение имеет вид z = 21 x2 + xy +
ϕ(y), где ϕ(y) — произвольная функция y.
       Пример 2.
                          ∂ 2z
                               = 1.
                        ∂x∂y
Решение этого дифференциального уравнения также не вызы-
                         
                  ∂   ∂z               ∂z
вает затруднений: ∂x ∂y = 1, откуда        = x + A(y) и,
                                      ∂y
следовательно, z = xy + A(y) dy + B(x). Здесь A(y) и
B(x) — произвольные функции указанных в скобках аргумен-
тов.
       Примеры показывают, что общее решение дифференциаль-
ного уравнения в частных производных первого порядка содер-
жит одну произвольную функцию, а уравнение второго порядка
— две произвольные функции, и так далее...
Предположения нуждаются в строгом обосновании. С. Ковалев-
ской была доказана следующая теорема существования и един-
ственности решения уравнения в частных производных.
       Прежде чем сформулировать эту терему, напомним опре-
деление аналитической функции.
       Определение. Функция f (x1, x2, ..., xn) называется ана-
                                         ◦   ◦       ◦
литической в окрестности точки M0( x1, x2, ... , xn ), если
данная функция может быть разложена в степенной ряд, сходя-
щийся в некоторой окрестности этой точки к самой этой функ-
ции.


                               132

Страницы