Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

17.2. Теорема Коши — Ковалевской существования и
единственности решения уравнения в частных
производных
Теорема Коши — Ковалевской. Существует единствен-
ное аналитическое в окрестности точки M
0
(
◦
x
1
,
◦
x
2
, ... ,
◦
x
n
)
решение уравнения m-го порядка, разрешённого относительно
старшей производной по одной из переменных
∂
m
u
∂x
m
1
= f
⎛
⎜
⎝
x
1
, ..., x
n
,u,
∂u
∂x
1
, ...,
∂u
∂x
n
,
∂
2
u
∂x
2
1
, ...,
∂
m−1
∂x
m−1
1
, ...,
∂
m
∂x
m
n
⎞
⎟
⎠
,
удовлетворяющее условиям
u|
x
1
=
◦
x
1
= ϕ
0
(x
2
, ..., x
n
),
∂u
∂x
1
|
x
1
=
◦
x
1
= ϕ
1
(x
2
, ..., x
n
),
...................................,
∂
m−1
u
∂x
m−1
1
|
x
1
=
◦
x
1
= ϕ
m−1
(x
2
, ..., x
n
),
если функции ϕ
0
(x
2
, ..., x
n
),ϕ
1
(x
2
, ..., x
n
), ... , ϕ
m−1
(x
2
, ..., x
n
)
являются аналитическими в окрестности точки M
0
, а функ-
ция f в правой части уравнения является аналитической функ-
цией в окрестности начальных значений своих аргументов.
Таким образом, решение определяется заданием начальных
функций ϕ
0
(x
2
, ..., x
n
),ϕ
1
(x
2
, ..., x
n
), ... , ϕ
m−1
(x
2
, ..., x
n
). Если
мы их будем произвольно менять в классе аналитических функ-
ций, то получим совокупность аналитических решений исходно-
го уравнения, зависящую от m произвольных функций. Иначе
говоря, общее решение содержит m произвольных функций.
133
 17.2. Теорема Коши — Ковалевской существования и
     единственности решения уравнения в частных
                                  производных

     Теорема Коши — Ковалевской. Существует единствен-
                                                        ◦    ◦        ◦
ное аналитическое в окрестности точки M0( x1, x2, ... , xn )
решение уравнения m-го порядка, разрешённого относительно
старшей производной по одной из переменных
            ⎛                                                        ⎞
  ∂ mu     ⎜                ∂u          ∂u ∂ 2u        ∂ m−1      ∂m ⎟
       = f ⎝x1, ..., xn, u,      , ...,      , 2 , ..., m−1 , ..., m ⎠ ,
  ∂xm1                      ∂x 1        ∂x n  ∂x1      ∂x1        ∂xn
удовлетворяющее условиям

                u|x       ◦   = ϕ0(x2, ..., xn),
                      1 =x1

            ∂u
                  | ◦ = ϕ1(x2, ..., xn),
            ∂x1 x1=x1
              ...................................,
            ∂ m−1u
                m−1 |x1 =x◦1 = ϕm−1 (x2 , ..., xn ),
            ∂x1
если функции ϕ0(x2, ..., xn), ϕ1(x2, ..., xn), ... , ϕm−1(x2, ..., xn)
являются аналитическими в окрестности точки M0 , а функ-
ция f в правой части уравнения является аналитической функ-
цией в окрестности начальных значений своих аргументов.
     Таким образом, решение определяется заданием начальных
функций ϕ0(x2, ..., xn), ϕ1(x2, ..., xn), ... , ϕm−1(x2, ..., xn). Если
мы их будем произвольно менять в классе аналитических функ-
ций, то получим совокупность аналитических решений исходно-
го уравнения, зависящую от m произвольных функций. Иначе
говоря, общее решение содержит m произвольных функций.

                                         133

Страницы