Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Правые части этих уравнений с точностью до первого порядка представим
по формуле Маклорена:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
˙x =2x +8y + R
1
(x, y),
˙y = −x − 3y + R
2
(x, y).
Следовательно, система первого приближения имеет вид:
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
˙x =2x +8y,
˙y = −x − 3y.
Характеристическое уравнение этой системы det (A − λE)=λ
2
+λ+2 = 0,
его корни λ
1,2
= −1/2 ± i · 7/2. Легко видеть, что Reλ
1
=Reλ
2
=
− 1/2 < 0. Решение x =0,y=0 является устойчивой точкой покоя.
ЛЕКЦИЯ 17
17.1. Уравнения в частных производных первого
порядка
Определение. Выражение вида
Φ
⎛
⎜
⎝
u(x
1
,x
2
, ..., x
n
),
∂u
∂x
1
,
∂u
∂x
2
, ...,
∂u
∂x
n
,
∂
2
u
∂x
2
1
,
∂
2
u
∂x
1
∂x
2
, ...,
∂
m
u
∂x
m
n
⎞
⎟
⎠
=0
(17.1)
называется дифференциальным уравнением в частных произ-
водных m-го порядка относительно неизвестной функции u(x) ≡
u(x
1
,x
2
, ..., x
n
). Как и в обыкновенных дифференциальных урав-
нениях, порядок старшей производной, входящей в уравнение,
называется порядком этого уравнения. Рассмотрим некоторые
примеры таких уравнений.
Пример 1. Рассмотрим дифференциальное уравнение
131
Правые части этих уравнений с точностью до первого порядка представим
по формуле Маклорена:
                        ⎧
                        ⎪
                        ⎨   ẋ = 2x + 8y + R1 (x, y),
                        ⎪
                        ⎩   ẏ = −x − 3y + R2 (x, y).

Следовательно, система первого приближения имеет вид:
                               ⎧
                               ⎪
                               ⎨   ẋ = 2x + 8y,
                               ⎪
                               ⎩   ẏ = −x − 3y.

Характеристическое уравнение этой системы det (A − λE) = λ2 +λ+2 = 0,
его корни λ1,2 = −1/2 ± i · 7/2. Легко видеть, что Reλ1 = Reλ2 =
− 1/2 < 0. Решение x = 0, y = 0 является устойчивой точкой покоя.



                              ЛЕКЦИЯ 17


    17.1. Уравнения в частных производных первого
                                   порядка

       Определение. Выражение вида
   ⎛                                                             ⎞
   ⎜                    ∂u ∂u          ∂u ∂ 2u ∂ 2u          ∂ mu ⎟
 Φ ⎝u(x1, x2, ..., xn),    ,    , ...,    ,    ,       , ..., m ⎠ = 0
                        ∂x1 ∂x2        ∂xn ∂x21 ∂x1∂x2       ∂xn
                                                                   (17.1)
называется дифференциальным уравнением в частных произ-
водных m-го порядка относительно неизвестной функции u(x) ≡
u(x1, x2, ..., xn). Как и в обыкновенных дифференциальных урав-
нениях, порядок старшей производной, входящей в уравнение,
называется порядком этого уравнения. Рассмотрим некоторые
примеры таких уравнений.
       Пример 1.      Рассмотрим дифференциальное уравнение

                                       131

Страницы