Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

17.3. Линейные и квазилинейные уравнения в частных
производных первого порядка
Определение. Квазилинейным неоднородным уравнением
в частных производных первого порядка называется уравнение
вида
X
1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
∂z
∂x
1
+ X
2
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
∂z
∂x
2
+ ...
+X
n
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
∂z
∂x
n
= Y (x
1
,x
2
, ..., x
n
,z). (17.2)
Это уравнение, линейное относительно производных, мо-
жет не быть, однако, линейным относительно неизвестной функ-
ции z(x
1
,x
2
, ..., x
n
). Если Y ≡ 0, а X
i
= X
i
(x
1
,x
2
, ..., x
n
), то
есть X
i
не зависят от z, то уравнение
n
i=1
X
i
(x
1
,x
2
, ..., x
n
)
∂z
∂x
i
=
0 называется линейным однородным уравнением в частных про-
изводных первого порядка.
Для большей наглядности сначала целесообразно рассмот-
реть квазилинейное уравнение вида
P (x, y, z)
∂z
∂x
+ Q(x, y, z)
∂z
∂y
= R(x, y, z), (17.3)
где функции P (x, y, z),Q(x, y, z),R(x, y, z) задают непрерыв-
ное векторное поле
F (x, y, z)=
iP(x, y, z)+
jQ(x, y, z)+
kR(x, y, z).
Векторными линиями векторного поля
F (x, y, z) назы-
ваются линии, r = r(t), у которых касательный вектор в каж-
дой точке совпадает по направлению с вектором
F (x, y, z) в
данной точке:
dr
dt
= k
F, k — const, t — параметр данной ли-
нии. Векторные линии поля
F (x, y, z), как известно, находятся
134
17.3. Линейные и квазилинейные уравнения в частных
                  производных первого порядка

       Определение. Квазилинейным неоднородным уравнением
в частных производных первого порядка называется уравнение
вида
                             ∂z                            ∂z
        X1(x1, x2, ..., xn, z)   + X2(x1, x2, ..., xn, z)     + ...
                             ∂x1                          ∂x2
                                ∂z
        +Xn(x1, x2, ..., xn, z)     = Y (x1, x2, ..., xn, z).       (17.2)
                                ∂xn
       Это уравнение, линейное относительно производных, мо-
жет не быть, однако, линейным относительно неизвестной функ-
ции z(x1, x2, ..., xn). Если Y ≡ 0, а Xi = Xi(x1, x2, ..., xn), то
                                        n
                                                              ∂z
есть Xi не зависят от z, то уравнение      Xi(x1, x2, ..., xn)     =
                                       i=1                     ∂xi
0 называется линейным однородным уравнением в частных про-
изводных первого порядка.
       Для большей наглядности сначала целесообразно рассмот-
реть квазилинейное уравнение вида
                      ∂z             ∂z
           P (x, y, z) + Q(x, y, z)     = R(x, y, z),      (17.3)
                      ∂x             ∂y
где функции P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) задают непрерыв-
ное векторное поле
         F (x, y, z) = i P (x, y, z) + j Q(x, y, z) + k R(x, y, z).
       Векторными линиями векторного поля F (x, y, z) назы-
ваются линии, r = r(t), у которых касательный вектор в каж-
дой точке совпадает по направлению с вектором F (x, y, z) в
данной точке: ddtr = k F , k — const, t — параметр данной ли-
нии. Векторные линии поля F (x, y, z), как известно, находятся
                                    134

Страницы