Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Если боковая поверхность векторной трубки определяется
уравнением z = z(x, y), то
N = −
∂z
∂x
i −
∂z
∂y
j +
k и усло-
вие
N ·
F
=0 после очевидных преобразований примет вид:
P (x, y, z)
∂z
∂x
+ Q(x, y, z)
∂z
∂y
= R(x, y, z), что совпадает с уравне-
нием (17.3).
Итак, чтобы найти уравнение боковой поверхности вектор-
ной трубки, необходимо проинтегрировать квазилинейное урав-
нение (17.3), когда мы ищем решение в явном виде z = z(x, y),
или линейное уравнение (17.5), когда мы ищем решение в неяв-
ном виде u(x, y, z)=0.
Для того чтобы решить уравнение (17.3) или (17.5), мы
должны сначала найти векторные линии (так как векторные
поверхности состоят из векторных линий), то есть решить вспо-
могательную систему обыкновенных дифференциальных урав-
нений (17.4):
dx
P (x, y, z)
=
dy
Q(x, y, z)
=
dz
R(x, y, z)
.
Пусть (α):
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
ψ
1
(x, y, z)=C
1
,
ψ
2
(x, y, z)=C
2
,
— два независимых первых ин-
теграла системы (17.4), которые задают нам двухпараметриче-
ское семейство векторных линий, называемых характеристика-
ми уравнения (17.3) или (17.4). Но боковая поверхность вектор-
ной трубки состоит из однопараметрического семейства вектор-
ных линий. Для того чтобы из двухпараметрического семейства
(α) с параметрами C
1
и C
2
выделить однопараметриче-
ское семейство, мы должны задать зависимость (в общем слу-
чае произвольную) между этими параметрами: Φ(C
1
,C
2
)=0.
136
      Если боковая поверхность векторной трубки определяется
уравнением z = z(x, y), то N = − ∂x        ∂z i − ∂z j + k и усло-
             
                                                   ∂y
вие N · F = 0 после очевидных преобразований примет вид:
            ∂z + Q(x, y, z) ∂z = R(x, y, z), что совпадает с уравне-
P (x, y, z) ∂x              ∂y
нием (17.3).
     Итак, чтобы найти уравнение боковой поверхности вектор-
ной трубки, необходимо проинтегрировать квазилинейное урав-
нение (17.3), когда мы ищем решение в явном виде z = z(x, y),
или линейное уравнение (17.5), когда мы ищем решение в неяв-
ном виде u(x, y, z) = 0.
     Для того чтобы решить уравнение (17.3) или (17.5), мы
должны сначала найти векторные линии (так как векторные
поверхности состоят из векторных линий), то есть решить вспо-
могательную систему обыкновенных дифференциальных урав-
нений (17.4):
                    dx           dy           dz
                            =            =            .
                P (x, y, z)   Q(x, y, z)   R(x, y, z)
              ⎧
              ⎪
              ⎪
              ⎨   ψ1(x, y, z) = C1,
Пусть (α) :   ⎪
              ⎪
                               — два независимых первых ин-
              ⎩
             ψ2(x, y, z) = C2,
теграла системы (17.4), которые задают нам двухпараметриче-
ское семейство векторных линий, называемых характеристика-
ми уравнения (17.3) или (17.4). Но боковая поверхность вектор-
ной трубки состоит из однопараметрического семейства вектор-
ных линий. Для того чтобы из двухпараметрического семейства
(α) с параметрами C1 и C2 выделить однопараметриче-
ское семейство, мы должны задать зависимость (в общем слу-
чае произвольную) между этими параметрами: Φ(C1, C2) = 0.
                                      136

Страницы