Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Это означает, что искомое уравнение поверхности определяется
соотношением
Φ(ψ
1
(x, y, z),ψ
2
(x, y, z)) = 0, (17.6)
где Φ — произвольная функция своих аргументов, а (17.6) —
общее решение уравнения (17.3).
Если требуется найти не произвольную векторную трубку
векторного поля
F (x, y, z), а векторную поверхность, прохо-
дящую через заданную кривую (β):
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
ϕ
1
(x, y, z)=0,
ϕ
2
(x, y, z)=0,
(такая
задача называется задачей Коши для дифференциального урав-
нения в частных производных), то функция Φ в соотношении
(17.6) уже не может быть произвольной: переменные x, y, z,
входящие в это выражение, должны одновременно удовлетво-
рять и условиям (α), и уравнению кривой (β). Иначе говоря,
они одновременно должны удовлетворять системе уравнений
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
ϕ
1
(x, y, z)=0,
ϕ
2
(x, y, z)=0,
ψ
1
(x, y, z)=C
1
,
ψ
2
(x, y, z)=C
2
.
Исключая x, y и z из этой системы, найдём конкретную
связь между параметрами C
1
и C
2
:
˜
Φ( C
1
,C
2
)=0. Тогда
решением уравнения (15.3) будет конкретная функция
˜
Φ(ψ
1
(x, y, z),ψ
2
(x, y, z)) = 0, (17.7)
описывающая уравнение векторной поверхности, проходящей че-
рез заданную кривую (β).
137
Это означает, что искомое уравнение поверхности определяется
соотношением

                 Φ (ψ1(x, y, z), ψ2(x, y, z)) = 0,       (17.6)

где Φ — произвольная функция своих аргументов, а (17.6) —
общее решение уравнения (17.3).
    Если требуется найти не произвольную векторную трубку
векторного поля F (x, y, z), а векторную
                                     ⎧
                                           поверхность, прохо-
                                     ⎪
                                     ⎪
                                     ⎨ ϕ1 (x, y, z) = 0,
дящую через заданную кривую (β) : ⎪  ⎪
                                                         (такая
                                     ⎩ ϕ (x, y, z) = 0,
                                        2
задача называется задачей Коши для дифференциального урав-
нения в частных производных), то функция Φ в соотношении
(17.6) уже не может быть произвольной: переменные x, y, z,
входящие в это выражение, должны одновременно удовлетво-
рять и условиям (α), и уравнению кривой (β). Иначе говоря,
они одновременно должны удовлетворять системе уравнений
                       ⎧
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                           ϕ1(x, y, z) = 0,
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎨   ϕ2(x, y, z) = 0,
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪   ψ1(x, y, z) = C1,
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎩   ψ2(x, y, z) = C2.
Исключая x, y и z из этой системы, найдём конкретную
связь между параметрами C1 и C2 : Φ̃( C1, C2) = 0. Тогда
решением уравнения (15.3) будет конкретная функция

                 Φ̃ (ψ1(x, y, z), ψ2(x, y, z)) = 0,      (17.7)

описывающая уравнение векторной поверхности, проходящей че-
рез заданную кривую (β).
                                 137

Страницы