Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пример. Найти интегральную поверхность уравнения
x
∂z
∂y
− y
∂z
∂x
=0,
проходящую через кривую
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x =0,
z = y
2
.
Составим вспомогательную систему
dx
−y
=
dy
x
=
dz
0
, первые интегралы этой
системы z = C
1
,x
2
+ y
2
= C
2
. Следовательно, общим решением исходного
уравнения является функция Φ
*
z, x
2
+ y
2
+
=0, что эквивалентно z =
f(x
2
+ y
2
) — поверхности вращения.
Исключим x, y, z из системы
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x =0,
z = y
2
,
z = C
1
,
x
2
+ y
2
= C
2
,
получим C
1
= C
2
или z = x
2
+ y
2
— параболоид.
ЛЕКЦИЯ 18
18.1. Общее решение линейного уравнения в частных
производных первого порядка
Пусть задано линейное однородное уравнение первого по-
рядка
X
1
(x
1
, ..., x
n
)
∂z
∂x
1
+ X
2
(x
1
, ..., x
n
)
∂z
∂x
2
+ ... + X
n
(x
1
, ..., x
n
)
∂z
∂x
n
=0.
(18.1)
Составим вспомогательную систему
dx
1
X
1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
)
=
dx
2
X
2
(x
1
,x
2
, ..., x
n
)
= ... =
dx
n
X
n
(x
1
,x
2
, ..., x
n
)
.
(18.2)
138
     Пример. Найти интегральную поверхность уравнения
                                      ∂z    ∂z
                                  x      −y    = 0,
                                      ∂y    ∂x
                              ⎧
                              ⎪
                              ⎨   x = 0,
проходящую через кривую       ⎪
                              ⎩   z = y2.

Составим вспомогательную систему −y  dx = dy = dz , первые интегралы этой
                                           x      0
                     2   2
системы z = C1 , x + y = C2 . Следовательно, общим решением исходного
                                 *         +
уравнения является функция Φ z, x2 + y 2 = 0, что эквивалентно z =
f (x2 + y 2 ) — поверхности вращения. ⎧
                                      ⎪
                                      ⎪ x = 0,
                                      ⎪
                                      ⎪
                                      ⎪
                                      ⎪
                                      ⎪
                                      ⎪
                                      ⎨ z = y2,
      Исключим x, y, z из системы ⎪                    получим C1 = C2
                                      ⎪
                                      ⎪ z = C   ,
                                      ⎪
                                      ⎪       1
                                      ⎪
                                      ⎪
                                      ⎪
                                      ⎩ x2 + y 2 = C ,
                                                    2
             2   2
или z = x + y — параболоид.


                               ЛЕКЦИЯ 18


 18.1. Общее решение линейного уравнения в частных
                   производных первого порядка

     Пусть задано линейное однородное уравнение первого по-
рядка
                  ∂z                    ∂z                          ∂z
X1(x1, ..., xn)       + X2(x1, ..., xn)     + ... + Xn(x1, ..., xn)      = 0.
                  ∂x1                   ∂x2                         ∂xn
                                                                       (18.1)
Составим вспомогательную систему
        dx1                 dx2                         dxn
                     =                    = ... =                     .
  X1(x1, x2, ..., xn) X2(x1, x2, ..., xn)         Xn(x1, x2, ..., xn)
                                                                  (18.2)


                                          138

Страницы