Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

А это, в свою очередь, означает, что ψ( x
1
,x
2
, ... , x
n
) есть
решение уравнения в частных производных (18.1).
Очевидно, что
Φ(ψ
1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
),ψ
2
(x
1
,x
2
, ..., x
n
), ..., ψ
n−1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
)) = C,
где Φ – произвольная дифференцируемая функция, является
первым интегралом вспомогательной системы (18.2), так как
вдоль интегральной кривой все функции ψ
i
(x
1
,x
2
, ..., x
n
) ≡ C
i
.
Значит, и функция Φ обращается в постоянную вдоль инте-
гральной кривой. Но тогда
z =Φ(ψ
1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
),ψ
2
(x
1
,x
2
, ..., x
n
), ... , ψ
n−1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
))
является решением линейного уравнения (18.1).
Теорема. 2. Функция
z =Φ(ψ
1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
),ψ
2
(x
1
,x
2
, ..., x
n
), ... , ψ
n−1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
)) ,
где Φ – произвольная дифференцируемая функция, является
общим решением уравнения (18.1).
Доказательство. Мы должны доказать, что любое ре-
шение ϕ(x
1
,x
2
, ..., x
n
) уравнения (18.1) при конкретном выборе
функции Φ может быть записано в виде ϕ =Φ(ψ
1
,ψ
2
, ... , ψ
n−1
) .
Пусть z = ϕ(x
1
,x
2
, ..., x
n
) – любое решение уравнения (18.1).
Тогда выполнено
n
i=1
∂ϕ
∂x
i
X
i
(x
1
,x
2
, ..., x
n
)=0. (18.3)
Докажем, что существует функция Φ такая, что
ϕ(x
1
,x
2
, ..., x
n
)=Φ(ψ
1
,ψ
2
, ..., ψ
n−1
) ,
140
А это, в свою очередь, означает, что ψ( x1, x2, ... , xn ) есть
решение уравнения в частных производных (18.1).
     Очевидно, что

Φ (ψ1(x1, x2, ..., xn), ψ2(x1, x2, ..., xn), ..., ψn−1(x1, x2, ..., xn)) = C,

где Φ – произвольная дифференцируемая функция, является
первым интегралом вспомогательной системы (18.2), так как
вдоль интегральной кривой все функции ψi(x1, x2, ..., xn) ≡ Ci.
Значит, и функция Φ обращается в постоянную вдоль инте-
гральной кривой. Но тогда

z = Φ (ψ1(x1, x2, ..., xn), ψ2(x1, x2, ..., xn), ... , ψn−1(x1, x2, ..., xn))

является решением линейного уравнения (18.1).
     Теорема. 2. Функция

z = Φ (ψ1(x1, x2, ..., xn), ψ2(x1, x2, ..., xn), ... , ψn−1(x1, x2, ..., xn)) ,

где Φ – произвольная дифференцируемая функция, является
общим решением уравнения (18.1).
     Доказательство. Мы должны доказать, что любое ре-
шение ϕ(x1, x2, ..., xn) уравнения (18.1) при конкретном выборе
функции Φ может быть записано в виде ϕ = Φ (ψ1, ψ2, ... , ψn−1) .
Пусть z = ϕ(x1, x2, ..., xn) – любое решение уравнения (18.1).
Тогда выполнено
                      n
                           ∂ϕ
                                Xi(x1, x2, ..., xn) = 0.               (18.3)
                      i=1   ∂xi
Докажем, что существует функция Φ такая, что

                ϕ(x1, x2, ..., xn) = Φ (ψ1, ψ2, ..., ψn−1) ,
                                      140

Страницы