Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где ψ
1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
),ψ
2
(x
1
,x
2
, ..., x
n
), ... , ψ
n−1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
) –
решения уравнения (18.2), то есть для каждой из этих функций
выполнено
n
i=1
X
i
∂ψ
1
∂x
i
=0,
n
i=1
X
i
∂ψ
2
∂x
i
=0,...,
n
i=1
X
i
∂ψ
n−1
∂x
i
=0. (18.4)
Систему уравнений (18.3),(18.4) можно рассматривать как си-
стему линейных алгебраических уравнений относительно функ-
ций X
i
с определителем
Δ=
∂ϕ
∂x
1
∂ϕ
∂x
2
...
∂ϕ
∂x
n
∂ψ
1
∂x
1
∂ψ
1
∂x
2
...
∂ψ
1
∂x
n
∂ψ
2
∂x
1
∂ψ
2
∂x
2
...
∂ψ
2
∂x
n
..................................
∂ψ
n−1
∂x
1
∂ψ
n−1
∂x
2
...
∂ψ
n−1
∂x
n
.
Однородная система алгебраических уравнений имеет нетриви-
альные решения X
i
тогда и только тогда, когда определи-
тель этой системы равен нулю: Δ ≡ 0. Приведённый выше
определитель одновременно является якобианом n функций
ϕ, ψ
1
,ψ
2
, ... , ψ
n−1
. Тождественное обращение в нуль якобиа-
на n функций n переменных указывает на наличие функци-
ональной зависимости между этими функциями. Отсюда
ϕ(x
1
,x
2
, ...x
n
)=Φ(ψ
1
,ψ
2
, ..., ψ
n−1
) ,
что и требовалось доказать.
141
где ψ1(x1, x2, ..., xn), ψ2(x1, x2, ..., xn), ... , ψn−1(x1, x2, ..., xn) –
решения уравнения (18.2), то есть для каждой из этих функций
выполнено
   n
        ∂ψ1          n
                            ∂ψ2              n
                                                ∂ψn−1
      Xi     = 0,         Xi     = 0, . . . , Xi       = 0.             (18.4)
  i=1    ∂xi          i=1    ∂xi             i=1  ∂xi
Систему уравнений (18.3),(18.4) можно рассматривать как си-
стему линейных алгебраических уравнений относительно функ-
ций Xi с определителем
                                                               
                                                               
                          
                          
                               ∂ϕ        ∂ ϕ ... ∂ ϕ            
                                                                
                              ∂x1       ∂x2     ∂xn            
                                                               
                                                               
                                                               
                          
                          
                               ∂ψ1       ∂ψ1 ... ∂ψ1            
                                                                
                                                               
                          
                          
                               ∂x1       ∂x2     ∂xn            
                                                                
                                                               
                    Δ=
                          
                              ∂ψ2       ∂ψ2 ... ∂ψ2            
                                                                   .
                                                               
                          
                          
                               ∂x1       ∂x2     ∂xn            
                                                                
                                                               
                                                               
                             ..................................
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                          
                          
                              ∂ψn−1 ∂ψn−1 ... ∂ψ           n−1 
                              ∂x1 ∂x2                   ∂x     
                                                           n 

Однородная система алгебраических уравнений имеет нетриви-
альные решения        Xi       тогда и только тогда, когда определи-
тель этой системы равен нулю: Δ ≡ 0. Приведённый выше
определитель одновременно является якобианом n функций
ϕ, ψ1, ψ2, ... , ψn−1. Тождественное обращение в нуль якобиа-
на n функций n переменных указывает на наличие функци-
ональной зависимости между этими функциями. Отсюда

                ϕ(x1, x2, ...xn) = Φ (ψ1, ψ2, ..., ψn−1) ,

что и требовалось доказать.



                                          141

Страницы