Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18.2. Общее решение квазилинейного уравнения в
частных производных первого порядка
Пусть теперь задано квазилинейное неоднородное уравне-
ние
X
1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
∂z
∂x
1
+ X
2
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
∂z
∂x
2
+ ...
+X
n
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
∂z
∂x
n
= Y (x
1
,x
2
, ..., x
n
,z). (18.5)
Решение этого уравнения будем искать в неявном виде
u(x
1
,x
2
, ... , x
n
,z)=0, тогда
∂z
∂x
i
= −
∂u
∂x
i
∂u
∂z
. Подставим эту
производную в уравнение (18.5), получим
X
1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
∂u
∂x
1
+ X
2
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
∂u
∂x
2
+ ...
+X
n
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
∂u
∂x
n
+ Y (x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
∂u
∂z
=0. (18.6)
Сначала найдём функции u(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z), обращающие урав-
нение (18.6) в тождество при независимо меняющихся пере-
менных x
1
,x
2
, ... , x
n
,z.Для этого составим вспомогательную
систему
dx
1
X
1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
=
dx
2
X
2
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
= ...
... =
dx
n
X
n
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
=
dz
Y (x
1
,x
2
, ..., x
n
,z)
(18.7)
и найдём из неё первые интегралы уравнения (18.6) :
(α)
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
ψ
1
(x
1
,x
2
, ... , x
n
,z)=C
1
,
ψ
2
(x
1
,x
2
, ... , x
n
,z)=C
2
,
..........................................
ψ
n
(x
1
,x
2
, ... , x
n
,z)=C
n
.
(18.8)
142
   18.2. Общее решение квазилинейного уравнения в
           частных производных первого порядка

      Пусть теперь задано квазилинейное неоднородное уравне-
ние
                              ∂z                            ∂z
       X1(x1, x2, ..., xn, z)     + X2(x1, x2, ..., xn, z)     + ...
                              ∂x1                          ∂x2
                                 ∂z
       +Xn(x1, x2, ..., xn, z)      = Y (x1, x2, ..., xn, z).        (18.5)
                                ∂xn
     Решение этого уравнения будем искать в неявном виде
                                     ∂z         ∂u 
u(x1, x2, ... , xn, z) = 0, тогда ∂x = − ∂xi ∂u . Подставим эту
                                       i             ∂z
производную в уравнение (18.5), получим
                              ∂u                            ∂u
       X1(x1, x2, ..., xn, z)     + X2(x1, x2, ..., xn, z)     + ...
                              ∂x1                          ∂x2
                             ∂u                           ∂u
   +Xn(x1, x2, ..., xn, z)       + Y (x1, x2, ..., xn, z)    = 0.    (18.6)
                            ∂xn                           ∂z
Сначала найдём функции u(x1, x2, ..., xn, z), обращающие урав-
нение (18.6) в тождество при независимо меняющихся пере-
менных x1, x2, ... , xn, z. Для этого составим вспомогательную
систему
                   dx1                    dx2
                                 =                       = ...
           X1(x1, x2, ..., xn, z) X2(x1, x2, ..., xn, z)
                      dxn                    dz
       ... =                       =                                    (18.7)
             Xn(x1, x2, ..., xn, z) Y (x1, x2, ..., xn, z)
и найдём из неё первые интегралы уравнения (18.6) :
                       ⎧
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                           ψ1(x1, x2, ... , xn, z) = C1,
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎨   ψ2(x1, x2, ... , xn, z) = C2,
                 (α)   ⎪
                       ⎪
                                                                        (18.8)
                       ⎪
                       ⎪   ..........................................
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎩   ψn(x1, x2, ... , xn, z) = Cn.
                                         142

Страницы