Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Общим решением уравнения (18.6) является произвольная
дифференцируемая функция
u =Φ(ψ
1
(x
1
, ..., x
n
,z),ψ
2
(x
1
, ..., x
n
,z), ..., ψ
n
(x
1
, ..., x
n
,z)) .
(18.9)
Но тогда общим решением исходного уравнения (18.5) являет-
ся произвольная дифференцируемая функция z(x
1
,x
2
, ..., x
n
),
определяемая из неявного уравнения
u =Φ(ψ
1
(x
1
, ..., x
n
,z),ψ
2
(x
1
, ..., x
n
,z), ..., ψ
n
(x
1
, ..., x
n
,z)) = 0.
(18.10)
Пример. Решить уравнение x
∂z
∂y
= z. Решение ищем в виде неявной
функции u(x, y, z)=0. Тогда исходное уравнение примет вид x
∂u
∂y
+z
∂u
∂z
=
0. Вспомогательная система:
dx
0
=
dy
x
=
dz
z
. Характеристики:
x = C
1
, ln z =
1
C
1
y +lnC
2
или
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x = C
1
,
z = C
2
e
y
x
.
Общее решение изменённого уравнения можно записать в виде
Φ
*
x, z e
−
y
x
+
=0⇒ ze
−
y
x
= f (x). Тогда z = f(x) e
y
x
– общее решение
исходного уравнения.
18.3. Задача Коши квазилинейного уравнения в
частных производных первого порядка
Геометрические соображения приводят к следующему ис-
толкованию формулы (18.10).
Система уравнений (18.7) задаёт в (n+1)-мерном простран-
стве переменных (x
1
,x
2
, ..., x
n
,z) n-параметрическое семейство
143
Общим решением уравнения                 (18.6)         является произвольная
дифференцируемая функция

   u = Φ (ψ1(x1, ..., xn, z), ψ2(x1, ..., xn, z), ..., ψn(x1, ..., xn, z)) .
                                                                         (18.9)
Но тогда общим решением исходного уравнения (18.5) являет-
ся произвольная дифференцируемая функция z(x1, x2, ..., xn),
определяемая из неявного уравнения

 u = Φ (ψ1(x1, ..., xn, z), ψ2(x1, ..., xn, z), ..., ψn(x1, ..., xn, z)) = 0.
                                                                       (18.10)
                                    ∂z
      Пример. Решить уравнение x        = z. Решение ищем в виде неявной
                                    ∂y
                                                              ∂u ∂u
функции u(x, y, z) = 0. Тогда исходное уравнение примет вид x +z       =
                                                              ∂y    ∂z
                              dx dy      dz
0. Вспомогательная система:      =     = . Характеристики:
                               0    x     z
                                     ⎧
                                     ⎪
                                     ⎨
                1                        x = C1 ,
x = C1 , ln z =    y + ln C2 или     ⎪            y
                C1                   ⎩   z = C2 e x .
Общее решение изменённого уравнения можно записать в виде
  *       y+              y                                   y
 Φ x, z e− x = 0 ⇒ z e− x = f (x). Тогда z = f (x) e x – общее решение
исходного уравнения.


      18.3. Задача Коши квазилинейного уравнения в
           частных производных первого порядка

      Геометрические соображения приводят к следующему ис-
толкованию формулы (18.10).
      Система уравнений (18.7) задаёт в (n+1)-мерном простран-
стве переменных (x1, x2, ..., xn, z) n-параметрическое семейство


                                     143

Страницы