Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 145 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пример. Рассмотрим уравнение
*
1+
√
z − x − y
+
∂z
∂x
+
∂z
∂y
=2.
Составим систему
dx
1+
√
z − x − y
=
dy
1
=
dz
2
.
Её интегралами будут
z − 2y = C
1
, 2
√
z − x − y + y = C
2
.
Поэтому общее решение нашего уравнения имеет вид
Φ
*
z − 2y, 2
√
z − x − y + y
+
=0.
Найдём решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным усло-
виям z =2x при y =0.
Полагая в найденных ранее интегралах y =0, получим
z = C
1
, 2
√
z − x = C
2
.
Разрешая эту систему относительно x и z, найдём
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
x = C
1
−
C
2
2
4
,
z = C
1
.
Поскольку x и z связаны условием z − 2x =0, решением поставленной
задачи Коши будет
C
1
− 2
⎛
⎝
C
1
−
C
2
2
4
⎞
⎠
=0, 2C
1
− C
2
2
=0.
Заменяя C
1
и C
2
их выражениями, окончательно получим
2z − 4y −
*
2
√
z − x − y + y
+
2
=0.
145
     Пример. Рассмотрим уравнение
                       *        √                +   ∂z ∂z
                           1+       z−x−y              +   = 2.
                                                     ∂x ∂y
Составим систему
                                    dx      dy  dz
                                √         =    = .
                           1+       z−x−y    1   2
Её интегралами будут
                                  √
                   z − 2y = C1 , 2 z − x − y + y = C2 .

Поэтому общее решение нашего уравнения имеет вид
                      *         √             +
                     Φ z − 2y, 2 z − x − y + y = 0.

    Найдём решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным усло-
виям z = 2x при y = 0.
    Полагая в найденных ранее интегралах y = 0, получим
                                      √
                            z = C1 , 2 z − x = C2 .

Разрешая эту систему относительно x и z, найдём
                                    ⎧
                                    ⎪
                                    ⎪            C22
                                    ⎨   x = C1 −     ,
                                    ⎪
                                    ⎪
                                                 4
                                    ⎩   z = C1 .

Поскольку x и z связаны условием z − 2x = 0, решением поставленной
задачи Коши будет
                            ⎛              ⎞
                               C2
                   C1 − 2 ⎝C1 − 2 ⎠ = 0,               2C1 − C22 = 0.
                                4
Заменяя C1 и C2 их выражениями, окончательно получим
                              * √             +2
                     2z − 4y − 2 z − x − y + y = 0.




                                               145

Страницы