Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 144 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

характеристик (18.8). Это семейство заполняет всю область из-
менения аргументов. Наша задача — выделить из этого мно-
жества (n − 1)-мерное подмножество, которое будет образовы-
вать интегральную поверхность. Для этого достаточно парамет-
ры C
1
,C
2
, ... , C
n
связать, наложив произвольную достаточно
гладкую связь вида
Φ(C
1
,C
2
, ... , C
n
)=0. (18.11)
Подставляя в (18.11) первые интегралы из (18.8), мы и получим
(18.10). Эти геометрические соображения дают возможность най-
ти решение задачи Коши. Эта задача ставится следующим об-
разом: через (n − 1)-мерное многообразие (β) в пространстве
(x
1
,x
2
, ..., x
n
,z) провести интегральную поверхность. Зададим
это многообразие в параметрическом виде
(β)
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x
1
= ϕ
1
(s
1
,s
2
, ..., s
n−1
),
x
2
= ϕ
2
(s
1
,s
2
, ..., s
n−1
),
....................................
x
n
= ϕ
n
(s
1
,s
2
, ..., s
n−1
),
z = ϕ (s
1
,s
2
, ..., s
n−1
).
(18.12)
Теперь мы должны связь (18.11) наложить не произвольным об-
разом, а исходя из (18.12). Переменные (x
1
,x
2
, ..., x
n
,z) должны
одновременно удовлетворять и условиям (18.8) — (α), и урав-
нению (18.12) — (β). Из двух систем (α) и (β) мы и получим
искомую связь, в которой функция Φ будет уже, вообще говоря,
вполне определённой функцией, дающей решение поставленной
задачи Коши.
144
характеристик (18.8). Это семейство заполняет всю область из-
менения аргументов. Наша задача — выделить из этого мно-
жества (n − 1)-мерное подмножество, которое будет образовы-
вать интегральную поверхность. Для этого достаточно парамет-
ры C1, C2, ... , Cn связать, наложив произвольную достаточно
гладкую связь вида

                     Φ ( C1, C2, ... , Cn ) = 0.                  (18.11)

Подставляя в (18.11) первые интегралы из (18.8), мы и получим
(18.10). Эти геометрические соображения дают возможность най-
ти решение задачи Коши. Эта задача ставится следующим об-
разом: через (n − 1)-мерное многообразие (β) в пространстве
(x1, x2, ..., xn, z) провести интегральную поверхность. Зададим
это многообразие в параметрическом виде
                       ⎧
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪   x1 = ϕ1(s1, s2, ..., sn−1),
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                           x2 = ϕ2(s1, s2, ..., sn−1),
                       ⎪
                       ⎨
                 (β)   ⎪
                       ⎪
                           ....................................   (18.12)
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪   xn = ϕn(s1, s2, ..., sn−1),
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎪
                       ⎩   z = ϕ (s1, s2, ..., sn−1).
Теперь мы должны связь (18.11) наложить не произвольным об-
разом, а исходя из (18.12). Переменные (x1, x2, ..., xn, z) должны
одновременно удовлетворять и условиям (18.8) — (α), и урав-
нению (18.12) — (β). Из двух систем (α) и (β) мы и получим
искомую связь, в которой функция Φ будет уже, вообще говоря,
вполне определённой функцией, дающей решение поставленной
задачи Коши.

                                      144

Страницы