Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Найдём n−1 функционально независимых первых интегралов:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
ψ
1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
)= C
1
,
ψ
2
(x
1
,x
2
, ..., x
n
)= C
2
,
...............................
ψ
n−1
(x
1
,x
2
, ..., x
n
)=C
n−1
.
В n-мерном евклидовом пространстве с декартовыми коорди-
натами (x
1
,x
2
, ... , x
n
) эта система определяет (n − 1)-пара-
метрическое семейство кривых, называемых характеристиками
уравнения (18.1).
Теорема 1. Левая часть любого первого интеграла
ψ(x
1
,x
2
, ..., x
n
)= C
системы вспомогательных уравнений (18.2) является решени-
ем исходного линейного уравнения (18.1).
Доказательство. Вдоль любой интегральной кривой си-
стемы (18.2) выполняется тождество ψ(x
1
,x
2
, ..., x
n
) ≡ C. Это
значит, что dψ =
n
i=1
∂ψ
∂x
i
dx
i
≡ 0. Из (18.2) следует, что dx
i
пропорциональны X
i
(x
1
, ..., x
n
), и, следовательно, вдоль любой
интегральной кривой выполнено
n
i=1
∂ψ
∂x
i
X
i
(x
1
,x
2
, ..., x
n
) ≡ 0.
Но интегральные кривые вспомогательной системы проходят че-
рез каждую точку изменения переменных x
1
,x
2
, ... , x
n
, але-
вая часть тождества
n
i=1
∂ψ
∂x
i
X
i
(x
1
,x
2
, ..., x
n
) ≡ 0 не зависит от
C
1
,C
2
, ... , C
n−1
, и, следовательно, она не меняется при пере-
ходе от одной интегральной кривой к другой. Это означает, что
наше тождество справедливо не только вдоль интегральной кри-
вой, но и во всей области изменения переменных x
1
,x
2
, ... , x
n
.
139
Найдём n−1 функционально независимых первых интегралов:
                    ⎧
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                        ψ1(x1, x2, ..., xn) = C1,
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎨   ψ2(x1, x2, ..., xn) = C2,
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪   ...............................
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎪
                    ⎩   ψn−1(x1, x2, ..., xn) = Cn−1.
В n-мерном евклидовом пространстве с декартовыми коорди-
натами (x1, x2, ... , xn) эта система определяет (n − 1)-пара-
метрическое семейство кривых, называемых характеристиками
уравнения (18.1).
     Теорема 1. Левая часть любого первого интеграла

                           ψ(x1, x2, ..., xn) = C

системы вспомогательных уравнений (18.2) является решени-
ем исходного линейного уравнения (18.1).
     Доказательство. Вдоль любой интегральной кривой си-
стемы (18.2) выполняется тождество ψ(x1, x2, ..., xn) ≡ C. Это
                   n ∂ψ
                   
значит, что dψ =          dxi ≡ 0. Из (18.2) следует, что dxi
                  i=1 ∂xi
пропорциональны Xi(x1, ..., xn), и, следовательно, вдоль любой
                                   n ∂ψ
интегральной кривой выполнено             Xi(x1, x2, ..., xn) ≡ 0.
                                  i=1 ∂xi
Но интегральные кривые вспомогательной системы проходят че-
рез каждую точку изменения переменных x1, x2, ... , xn, а ле-
                        n ∂ψ
                        
вая часть тождества            Xi(x1, x2, ..., xn) ≡ 0 не зависит от
                       i=1 ∂xi
C1, C2, ... , Cn−1, и, следовательно, она не меняется при пере-
ходе от одной интегральной кривой к другой. Это означает, что
наше тождество справедливо не только вдоль интегральной кри-
вой, но и во всей области изменения переменных x1, x2, ... , xn.

                                         139

Страницы