Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где N и α>0, и все корни характеристического полино-
ма det (A − λE)=0 имеют отрицательные действительные
части,
то тривиальное решение x
i
=0 (i =1, 2, ..., n) исход-
ной системы дифференциальных уравнений и линейной систе-
мы по первому приближению асимптотически устойчиво. Ес-
ли же хотя бы один корень характеристического уравнения
имеет положительную действительную часть, то точка по-
коя x
i
=0 (i =1, 2, ..., n) — неустойчивая точка покоя.
В обосновании данного подхода огромная заслуга ученых
Казанского университета Н.Г. Четаева и И.К. Персидского.
Если характеристическое уравнение имеет высокую степень,
то его решение представляет значительные трудности. Поэтому
необходим метод, позволяющий, не решая уравнения, устано-
вить отрицательность или неотрицательность вещественной ча-
сти.
16.3. Теорема Гурвица
Теорема Гурвица. Необходимым и достаточным усло-
вием отрицательности действительных частей всех корней
многочлена z
n
+ a
1
z
n−1
+ a
2
z
n−2
+ ... + a
n−1
z + a
n
с действи-
тельными коэффициентами a
i
(i =1, 2, ..., n) является по-
ложительность всех главных диагональных миноров матрицы
Гурвица
128
где N и α > 0, и все корни характеристического полино-
ма det (A − λE) = 0 имеют отрицательные действительные
части,
       то тривиальное решение xi = 0 (i = 1, 2, ..., n) исход-
ной системы дифференциальных уравнений и линейной систе-
мы по первому приближению асимптотически устойчиво. Ес-
ли же хотя бы один корень характеристического уравнения
имеет положительную действительную часть, то точка по-
коя xi = 0 (i = 1, 2, ..., n) — неустойчивая точка покоя.
       В обосновании данного подхода огромная заслуга ученых
Казанского университета Н.Г. Четаева и И.К. Персидского.
       Если характеристическое уравнение имеет высокую степень,
то его решение представляет значительные трудности. Поэтому
необходим метод, позволяющий, не решая уравнения, устано-
вить отрицательность или неотрицательность вещественной ча-
сти.

                    16.3. Теорема Гурвица

       Теорема Гурвица. Необходимым и достаточным усло-
вием отрицательности действительных частей всех корней
многочлена z n + a1z n−1 + a2z n−2 + ... + an−1z + an с действи-
тельными коэффициентами ai (i = 1, 2, ..., n) является по-
ложительность всех главных диагональных миноров матрицы
Гурвица




                               128

Страницы