Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

начала координат, так как в этой h-окрестности начала координат непре-
рывная функция V (x
1
,x
2
, ..., x
n
) ограничена.
Отметим, что в практическом плане использование теорем
Ляпунова и Чебышева весьма эффективно, поскольку для ис-
следования решений на устойчивость нет необходимости инте-
грировать систему дифференциальных уравнений.
16.2. Исследование уравнений на устойчивость по
первому приближению
При исследовании на устойчивость точки покоя x
i
=0 (i =
1, 2, ..., n) системы дифференциальных уравнений
dx
i
dt
= f
i
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)(i =1, 2, ..., n), (16.2)
где f
i
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
) — дифференцируемые в окрестности на-
чала координат функции, часто применяется следующий метод:
пользуясь дифференцируемостью функций f
i
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)
представляют систему уравнений (16.2) в окрестности начала
координат x
i
=0 (i =1, 2, ..., n) в виде
dx
i
dt
=
n
k=1
a
ik
(t)x
k
+ R
k
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
). (16.3)
Для этого функцию f
i
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
) представляют формулой
Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа:
f
i
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)=f
i
(t, 0, 0, ..., 0) +
n
k=1
∂f
i
(t, 0, 0, ..., 0)
∂x
k
x
k
+
+
n
k
n
j=1
∂
2
f
i
(t, θ
1
x
1
,θ
2
x
2
, ..., θ
n
x
n
)
∂x
k
∂x
j
x
k
x
j
.
126
начала координат, так как в этой h-окрестности начала координат непре-
рывная функция V (x1 , x2 , ..., xn ) ограничена.
     Отметим, что в практическом плане использование теорем
Ляпунова и Чебышева весьма эффективно, поскольку для ис-
следования решений на устойчивость нет необходимости инте-
грировать систему дифференциальных уравнений.

   16.2. Исследование уравнений на устойчивость по
                         первому приближению

     При исследовании на устойчивость точки покоя xi = 0 (i =
1, 2, ..., n) системы дифференциальных уравнений
               dxi
                   = fi(t, x1, x2, ..., xn) (i = 1, 2, ..., n),              (16.2)
               dt
где fi(t, x1, x2, ..., xn) — дифференцируемые в окрестности на-
чала координат функции, часто применяется следующий метод:
пользуясь дифференцируемостью функций fi(t, x1, x2, ..., xn)
представляют систему уравнений (16.2) в окрестности начала
координат xi = 0 (i = 1, 2, ..., n) в виде
                dxi    n
                       
                    =     aik (t)xk + Rk (t, x1, x2, ..., xn).               (16.3)
                dt    k=1

Для этого функцию fi(t, x1, x2, ..., xn) представляют формулой
Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа:
                                                    n
                                                       ∂fi(t, 0, 0, ..., 0)
   fi(t, x1, x2, ..., xn) = fi(t, 0, 0, ..., 0) +                            xk +
                                                    k=1        ∂xk
                    n 
                     n     ∂ 2fi(t, θ1x1, θ2x2, ..., θnxn)
                +                                           xk xj .
                    k   j=1            ∂xk ∂xj


                                         126

Страницы