Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1) V (x
1
,x
2
, ..., x
n
) имеет строгий минимум в начале ко-
ординат: V (0, 0, ..., 0) = 0;
2) производная функции V, вычисленная вдоль интеграль-
ных кривых системы удовлетворяет условию
dV
dt
=
n
i=1
∂V
∂x
i
f
i
(t, x
1
,x
2
, ... , x
n
) ≤ 0;
причем
3) вне сколь угодно малой окрестности начала координат,
то есть при
n
i=1
x
2
i
≥ δ>0(t ≥ T
0
≥ t
0
), производная
dV
dt
≤
≤ β<0, где β — постоянная,
то точка x
i
=0 (i =1, 2, ..., n) асимптотически устой-
чива.
Доказательство. В силу условий 1) и 2) теоремы, точка
покоя x
i
=0 (i =1, 2, ..., n) по теореме 1 является устойчивой
точкой. Это означает, что ∀ε>0 ∃δ(ε) > 0 такая, что траек-
тория, начальная точка которой находится в δ-окрестности, не
выйдет из ε-окрестности ∀t>t
0
. В силу тех же условий 2) и 3)
теоремы, функция V (x
1
(t),x
2
(t), ... , x
n
(t)) монотонно убыва-
ет с возрастанием t и, следовательно, существует ее предел при
t →∞. Обозначим lim
t→∞
V (x
1
(t),x
2
(t), ..., x
n
(t)) = a. Покажем,
что a =0. Тогда из того факта, что V – непрерывная функция
и V =0 только при x
i
=0 (i =1, 2, ..., n), будет следовать,
что lim
t→∞
x
i
(t)=0, и, тем самым, теорема будет доказана.
Предположим противное, a =0. Тогда, в силу условия
1), непременно a>0. Взяв
˜
C ≥ a, получим, что траек-
тория движения точки будет находиться внутри области, окру-
женной поверхностью уровня V (x
1
,x
2
, ..., x
n
)=
˜
C. Поскольку
123
     1) V (x1, x2, ..., xn) имеет строгий минимум в начале ко-
ординат: V (0, 0, ..., 0) = 0;
     2) производная функции V, вычисленная вдоль интеграль-
ных кривых системы удовлетворяет условию
             dV      n
                          ∂V
                =              fi(t, x1, x2, ... , xn) ≤ 0;
             dt      i=1   ∂xi
причем
    3) вне сколь угодно малой окрестности начала координат,
               n
                  x2i ≥ δ > 0 (t ≥ T0 ≥ t0), производная dV
               
то есть при                                              dt ≤
              i=1
≤ β < 0, где β — постоянная,
     то точка xi = 0 (i = 1, 2, ..., n) асимптотически устой-
чива.
     Доказательство. В силу условий 1) и 2) теоремы, точка
покоя xi = 0 (i = 1, 2, ..., n) по теореме 1 является устойчивой
точкой. Это означает, что ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 такая, что траек-
тория, начальная точка которой находится в δ-окрестности, не
выйдет из ε-окрестности ∀t > t0. В силу тех же условий 2) и 3)
теоремы, функция V (x1(t), x2(t), ... , xn(t)) монотонно убыва-
ет с возрастанием t и, следовательно, существует ее предел при
t → ∞. Обозначим lim V (x1(t), x2(t), ..., xn (t)) = a. Покажем,
                       t→∞
что a = 0. Тогда из того факта, что V – непрерывная функция
и V = 0 только при xi = 0 (i = 1, 2, ..., n), будет следовать,
что lim xi(t) = 0, и, тем самым, теорема будет доказана.
     t→∞
     Предположим противное, a = 0. Тогда, в силу условия
1), непременно a > 0. Взяв C̃ ≥ a, получим, что траек-
тория движения точки будет находиться внутри области, окру-
женной поверхностью уровня V (x1, x2, ..., xn) = C̃. Поскольку
                                   123

Страницы