Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

бы один корень имеет положительную вещественную часть, то
точка покоя x =0,y=0 неустойчива.
Совершенно аналогично обстоит дело и в случае системы
n линейных однородных уравнений с постоянными коэффи-
циентами ˙x
i
=
n
k=1
a
ik
x
k
, (i =1, 2, ..., n), где A = a
ik
— числовая матрица. Характеристическое уравнение для этой
системы имеет вид det (A − λE)=0. Если вещественные
части всех корней характеристического уравнения отрицатель-
ны, то точка покоя асимптотически устойчива. Если же веще-
ственная часть хотя бы одного корня положительна, то точка
x
i
=0 (i =1, 2, ..., n) не является устойчивой точкой покоя.
Пример.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
˙x =2y − z,
˙y =3x − 2z,
˙z =5x − 4y.
det (A − λE)=
−λ2 − 1
3 − λ − 2
5 − 4 − λ
=
= −λ
3
+9λ − 8=0. У этого характеристического уравнения
существует положительный корень λ
1
=1> 0. Точка покоя
неустойчива.
ЛЕКЦИЯ 16
16.1. Второй метод Ляпунова
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dx
i
dt
= f
i
(t, x
1
,x
2
, ..., x
n
)(i =1, 2, ..., n). (16.1)
Теорема 1 (теорема Ляпунова об устойчивости.) Если су-
ществует дифференцируемая функция V (x
1
,x
2
, ..., x
n
), назы-
120
бы один корень имеет положительную вещественную часть, то
точка покоя x = 0, y = 0 неустойчива.
    Совершенно аналогично обстоит дело и в случае системы
n   линейных однородных уравнений с постоянными коэффи-
                       n
                       
циентами       ẋi =         aik xk ,   (i = 1, 2, ..., n),    где   A = aik 
                       k=1
— числовая матрица. Характеристическое уравнение для этой
системы имеет вид             det (A − λE) = 0.          Если вещественные
части всех корней характеристического уравнения отрицатель-
ны, то точка покоя асимптотически устойчива. Если же веще-
ственная часть хотя бы одного корня положительна, то точка
xi = 0 (i = 1, 2, ..., n) не является устойчивой точкой покоя.
           ⎧                                                           
           ⎪                                                           
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎪
           ⎪
               ẋ = 2y − z,                              
                                                         
                                                         
                                                              −λ2 − 1   
                                                                        
                                                                        
           ⎪
           ⎨                                                           
                                                                       
Пример.    ⎪
           ⎪
               ẏ = 3x − 2z,            det (A − λE) = 3 − λ − 2 =
                                                         
                                                         
                                                                        
                                                                        
           ⎪
           ⎪                                                           
           ⎪
           ⎪                                                           
           ⎪
           ⎩   ż = 5x − 4y.                             
                                                             5−4−λ     
                                                                        

= −λ3 + 9λ − 8 = 0. У этого характеристического уравнения
существует положительный корень λ1 = 1 > 0. Точка покоя
неустойчива.

                                 ЛЕКЦИЯ 16


                  16.1. Второй метод Ляпунова

    Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

          dxi
              = fi(t, x1, x2, ..., xn) (i = 1, 2, ..., n). (16.1)
          dt
    Теорема 1 (теорема Ляпунова об устойчивости.) Если су-
ществует дифференцируемая функция V (x1, x2, ..., xn), назы-

                                         120

Страницы