Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

если ∀ ε>0 ∃ δ(ε) > 0 такое, что из неравенства |x
i
(t
0
)| <δ
следует |x
i
(t)| <ε для всех t>t
0
.
Замечание. Иногда дают эквивалентное вышеуказанному
определению следующее определение устойчивости.
Определение 1
∗∗
. Точка покоя x
i
(t)=0 устойчива по
Ляпунову, если ∀ ε>0 ∃ δ(ε) > 0 такое, что из неравенства
n
i=1
x
2
i
(t
0
) <δ
2
следует
n
i=1
x
2
i
(t) <ε
2
при t ≥ T>t
0
. Иначе
говоря, траектория, начальная точка которой находится в δ-
окрестности начала координат, не выходит из ε-окрестности
начала координат при всех t ≥ T.
15.3. Простейшие типы точек покоя
Исследуем расположение траекторий в окрестности точки
покоя x =0,y=0 системы двух линейных однородных урав-
нений с постоянными коэффициентами:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
˙x = a
11
x + a
12
y,
˙y = a
21
x + a
22
y,
где det
⎛
⎜
⎜
⎝
a
11
a
12
a
21
a
22
⎞
⎟
⎟
⎠
=0.
Решение ищем в виде x = α
1
e
λt
,y= α
2
e
λt
. Составим харак-
теристическое уравнение
a
11
− λa
12
a
21
a
22
− λ
= λ
2
− (a
11
+ a
22
)λ +
+(a
11
a
22
− a
12
a
21
) ≡ λ
2
− (a
11
+ a
22
)λ +Δ=0. Коэффициенты
α
1
и α
2
с точностью до постоянного множителя определятся
из уравнений
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
(a
11
− λ)α
1
+ a
12
α
2
=0,
a
21
α
1
+(a
22
− λ)α
2
=0.
Последовательно рассмотрим следующие случаи.
110
если ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 такое, что из неравенства |xi(t0)| < δ
следует |xi(t)| < ε для всех t > t0.
       Замечание. Иногда дают эквивалентное вышеуказанному
определению следующее определение устойчивости.
       Определение 1∗∗ . Точка покоя xi(t) = 0 устойчива по
Ляпунову, если ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 такое, что из неравенства
n
                                n
                                 
      x2i (t0) < δ 2 следует          x2i (t) < ε2 при t ≥ T > t0. Иначе
i=1                             i=1
говоря, траектория, начальная точка которой находится в δ-
окрестности начала координат, не выходит из ε-окрестности
начала координат при всех t ≥ T.

                15.3. Простейшие типы точек покоя

       Исследуем расположение траекторий в окрестности точки
покоя x = 0, y = 0 системы двух линейных однородных урав-
нений с постоянными коэффициентами:
           ⎧                                      ⎛              ⎞
           ⎪
           ⎪
           ⎨   ẋ = a11 x + a12 y,                ⎜    a11 a12   ⎟
           ⎪
           ⎪
                                        где    det ⎜
                                                   ⎝
                                                                 ⎟
                                                                 ⎠   = 0.
           ⎩   ẏ = a21 x + a22 y,                     a21 a22

Решение ищем в виде x =  
                             α1eλt, y = α2eλt. Составим харак-
                                      
                          11 − λ a12 
                          a           
теристическое уравнение 
                                       = λ2 − (a
                                                  11 + a22 )λ +
                          a21 a22 − λ 
                                       


+(a11a22 − a12a21) ≡ λ2 − (a11 + a22)λ + Δ = 0. Коэффициенты
α1 и α2 с точностью до постоянного множителя определятся
из уравнений             ⎧
                         ⎪
                         ⎪
                         ⎨   (a11 − λ)α1 + a12α2 = 0,
                         ⎪
                         ⎪
                         ⎩   a21α1 + (a22 − λ)α2 = 0.
       Последовательно рассмотрим следующие случаи.

                                         110

Страницы