Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

выполняется
|y
i
(t) − ϕ
i
(t)| <ε (i =1, 2, ..., n)(15.2)
для всех t ≥ t
0
. Если же при сколь угодно малом δ>0
неравенство (15.2) не выполняется хотя бы для одной функ-
ции семейства (y
1
(t),y
2
(t), ... , y
n
(t)) , то решение называется
неустойчивым.
Определение 2. Если решение (ϕ
1
(t),ϕ
2
(t), ..., ϕ
n
(t)) си-
стемы (15.1) устойчиво и при этом
lim
t→∞
|y
i
(t) − ϕ
i
(t)| =0 (i =1, 2, ..., n),
когда |y
i
(t
0
) − ϕ
i
(t
0
)| <δ(ε), то решение (ϕ
1
(t),ϕ
2
(t), ... , ϕ
n
(t))
называется асимптотически устойчивым.
Замечание. Если выполнено только lim
t→∞
|y
i
(t) − ϕ
i
(t)| =
=0 (i =1, 2, ..., n), то это еще не означает устойчивость реше-
ния {ϕ
i
(t)} (i =1, 2, ..., n).
Пример 1. Рассмотрим уравнение ˙y = −α
2
y, где y(t
0
)=
y
0
. Решение этого уравнения y = y
0
e
−α
2
(t−t
0
)
устойчиво, по-
скольку при t>t
0
для любого другого решения ˆy =ˆy
0
e
−α
2
(t−t
0
)
,
отвечающего начальным данным ˆy(t
0
)=ˆy
0
, условие
ˆy
0
e
−α
2
(t−t
0
)
− y
0
e
−α
2
(t−t
0
)
= e
−α
2
t
e
α
2
t
0
|ˆy
0
− y
0
| <e
α
2
t
0
|ˆy
0
− y
0
| <
ε выполняется при |ˆy
0
− y
0
| <εe
−α
2
t
0
≡ δ(ε).
Поскольку lim
t→∞
e
−α
2
(t−t
0
)
|ˆy
0
− y
0
| =0, это решение также
асимптотически устойчиво.
Пример 2. Решение y = y
0
e
α
2
(t−t
0
)
уравнения ˙y = α
2
y,
где y(t
0
)=y
0
, не устойчиво. Действительно, неравенство
ˆy
0
e
α
2
(t−t
0
)
− y
0
e
α
2
(t−t
0
)
= e
α
2
(t−t
0
)
|ˆy
0
− y
0
| <ε нельзя реали-
108
выполняется

                          |yi(t) − ϕi(t)| < ε (i = 1, 2, ..., n)                              (15.2)

для всех t ≥ t0. Если же при сколь угодно малом δ > 0
неравенство (15.2) не выполняется хотя бы для одной функ-
ции семейства (y1(t), y2(t), ... , yn(t)) , то решение называется
неустойчивым.
       Определение 2. Если решение (ϕ1(t), ϕ2(t), ..., ϕn (t)) си-
стемы (15.1) устойчиво и при этом

                     lim |yi(t) − ϕi(t)| = 0 (i = 1, 2, ..., n),
                    t→∞

когда |yi(t0) − ϕi(t0)| < δ(ε), то решение (ϕ1(t), ϕ2(t), ... , ϕn(t))
называется асимптотически устойчивым.
       Замечание. Если выполнено только lim |yi(t) − ϕi(t)| =
                                                                          t→∞
= 0 (i = 1, 2, ..., n), то это еще не означает устойчивость реше-
ния {ϕi(t)} (i = 1, 2, ..., n).
       Пример 1. Рассмотрим уравнение ẏ = −α2y, где y(t0) =
                                                                       2 (t−t )
y0. Решение этого уравнения y = y0e−α                                        0    устойчиво, по-
                                                                                             2 (t−t )
скольку при t > t0 для любого другого решения ŷ = ŷ0 e−α                                         0    ,
отвечающего начальным данным                                    ŷ(t0)      =     ŷ0,      условие
                                    
   −α2 (t−t0 )         −α2 (t−t0 )              2     2t                        2t

ŷ e
 0               −y e0                 = e−α teα         0   |ŷ0 − y0| < eα       0   |ŷ0 − y0| <
                                                               2t
ε выполняется при |ŷ0 − y0| < ε e−α                             0   ≡ δ(ε).
                                       2 (t−t )
       Поскольку lim e−α                     0    |ŷ0 − y0| = 0, это решение также
                           t→∞
асимптотически устойчиво.
                                                           2 (t−t )
       Пример 2. Решение y = y0 eα                               0       уравнения ẏ = α2y,
где     y(t0) = y0,            не устойчиво. Действительно, неравенство
                                  
   α2 (t−t0 )         α2 (t−t0 )           2 (t−t )

ŷ e
 0              − y0 e               = eα         0    |ŷ0 − y0| < ε           нельзя реали-

                                                  108

Страницы