Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 104 стр.

n собственных векторов
               ⎛           ⎞                       ⎛           ⎞                             ⎛              ⎞
                    (1)                                 (2)                                          (n)
                ⎜   α      ⎟                        ⎜   α      ⎟                           ⎜     ⎟   α
                ⎜          ⎟                        ⎜          ⎟                           ⎜     ⎟
                ⎜    1 ⎟                            ⎜    1 ⎟                               ⎜ 1 ⎟
                ⎜
                ⎜   (1) ⎟
                        ⎟
                                                    ⎜
                                                    ⎜   (2) ⎟
                                                            ⎟
                                                                                           ⎜     ⎟
                                                                                           ⎜ (n) ⎟
                ⎜       ⎟                           ⎜       ⎟                              ⎜     ⎟
           λ1 t ⎜
                ⎜
                    α   ⎟
                        ⎟                      λ2 t ⎜
                                                    ⎜
                                                        α   ⎟
                                                            ⎟                          λnt ⎜
                                                                                           ⎜ 2 ⎟
                                                                                                 ⎟   α
   X1 = e       ⎜
                ⎜
                    2   ⎟
                        ⎟
                                , X2 = e            ⎜
                                                    ⎜
                                                          2 ⎟
                                                            ⎟
                                                                   , ... , Xn = e          ⎜
                                                                                           ⎜
                                                                                                 ⎟
                                                                                                 ⎟
                                                                                                                .
                ⎜   ....⎟                           ⎜   ....⎟                              ⎜     ⎟   ....
                ⎜       ⎟                           ⎜       ⎟                              ⎜     ⎟
                ⎜       ⎟                           ⎜       ⎟                              ⎜     ⎟
                ⎜   (1) ⎟                           ⎜   (2) ⎟                              ⎜ (n) ⎟
                ⎝       ⎠                           ⎝       ⎠                              ⎝     ⎠
                    α
                    n
                                                        α
                                                        n
                                                                                                     α
                                                                                                     n

Среди собственных значений могут быть комплексные. Если один
из корней характеристического уравнения равен λs = ps + i qs,
то тогда непременно существует и комплексно сопряжённый ко-
рень    λs+1 = ps − i qs.                  Этим двум собственным значениям
соответствуют решения
                                                                        ⎛                    ⎞
                                                                            (s)       (s) ⎟
                                                                        ⎜
                                                                        ⎜ 1
                                                                        ⎜
                                                                            β ±i γ1       ⎟
                                                                                          ⎟
                                                                        ⎜                 ⎟
                                                                        ⎜ (s)
                                                                        ⎜             (s) ⎟
                                                                                          ⎟
          Xs,s+1(t) = epst (cos qst ± i sin qst) β ±i γ
                                                                        ⎜                 ⎟
                                                                        ⎜ 2             2 ⎟
                                                                        ⎜
                                                                        ⎜
                                                                                          ⎟
                                                                                          ⎟      .
                                                                        ⎜                 ⎟
                                                 ............           ⎜
                                                                        ⎜
                                                                                          ⎟
                                                                                          ⎟
                                                                        ⎜                 ⎟
                                                                        ⎜ (s)
                                                                        ⎝             (s) ⎟
                                                                                          ⎠
                                                                            βn ±i γn
Выделяя в этом выражении действительную и мнимую части,
получим два независимых решения.

 14.3. Кратные корни характеристического полинома

       Характеристическое уравнение (14.4) имеет корень                                                         λ0
кратности r.         В этом случае решение будем искать в виде
                ⎛⎛               ⎞         ⎛          ⎞                           ⎛          ⎞⎞
                          (1)                  (2)                                    (r)
                 ⎜⎜     ⎟ α1               ⎜   α1⎟                              ⎜     ⎟⎟
                                                                                      α1
                 ⎜⎜     ⎟                  ⎜     ⎟                              ⎜     ⎟⎟
                 ⎜⎜     ⎟                  ⎜     ⎟                              ⎜     ⎟⎟
                 ⎜⎜     ⎟ (1)              ⎜     ⎟
                                               (2)                              ⎜     ⎟⎟
                                                                                      (r)
                 ⎜⎜     ⎟                  ⎜     ⎟                              ⎜     ⎟⎟
                 ⎜⎜
            λ0 t ⎜ ⎜
                        ⎟
                        ⎟ α2               ⎜
                                           ⎜   α2⎟
                                                 ⎟
                                                                                ⎜
                                                                            r−1 ⎜     α2
                                                                                      ⎟⎟
                                                                                      ⎟⎟
 X(t) = e        ⎜⎜
                 ⎜⎜
                        ⎟
                        ⎟            + t   ⎜
                                           ⎜
                                                 ⎟
                                                 ⎟            + ... + t         ⎜
                                                                                ⎜
                                                                                      ⎟⎟
                                                                                      ⎟⎟             .
                 ⎜⎜     ⎟                  ⎜     ⎟                              ⎜     ⎟⎟
                 ⎜⎜
                 ⎜⎜
                        ⎟
                        ⎟
                          ....             ⎜
                                           ⎜
                                               ....
                                                 ⎟
                                                 ⎟
                                                                                ⎜
                                                                                ⎜
                                                                                      ....
                                                                                      ⎟⎟
                                                                                      ⎟⎟
                 ⎜⎜ (1) ⎟                  ⎜ (2) ⎟                              ⎜ (r) ⎟⎟
                 ⎝⎝     ⎠                  ⎝     ⎠                              ⎝     ⎠⎠
                          αn                   αn                                     αn
                                                  104