Дифференциальные уравнения. Даишев Р.А - 102 стр.

      Существуют два варианта решения этой системы.
      Первый вариант решения системы (14.1) состоит в том,
чтобы свести решение системы к решению дифференциального
уравнения более высокого порядка. Ясно, что это будет линей-
ное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициен-
тами, которое мы уже решали ранее.
      Второй вариант решения системы (14.1) состоит в том,
чтобы найти линейно независимую систему решений X1(t),
X2(t), ... , Xn(t) соответствующей однородной системы
                            dX
                                = AX,                 (14.2)
                             dt
а затем либо применить метод вариации произвольных постоян-
ных, либо найти некоторое частное решение Y (t) неоднородной
                                                     n
                                                     
системы. Тогда X(t) = Y (t) +                             Ci Xi(t), Ci — произвольные
                                                    i=1
постоянные.
      Таким образом, необходимо найти способ получения n ли-
нейно независимых решений однородной системы. Будем искать
решение системы (14.2) в виде
                    ⎛           ⎞                                           ⎛          ⎞
                     ⎜
                     ⎜
                         α1  ⎟
                             ⎟
                                                                         ⎜
                                                                         ⎜
                                                                                α1  ⎟
                                                                                    ⎟
                     ⎜       ⎟                                           ⎜          ⎟
                     ⎜       ⎟                                           ⎜          ⎟
                     ⎜
                  λt ⎜   α 2 ⎟
                             ⎟                        dX(t)              ⎜
                                                                      λt ⎜      α 2 ⎟
                                                                                    ⎟
 X(t) = e            ⎜
                     ⎜
                             ⎟
                             ⎟      .       Тогда      dt = λ e
                                                                         ⎜
                                                                         ⎜
                                                                                    ⎟
                                                                                    ⎟      .
                     ⎜   ....⎟                                           ⎜      ....⎟
                     ⎜       ⎟                                           ⎜          ⎟
                     ⎜       ⎟                                           ⎜          ⎟
                     ⎝       ⎠                                           ⎝          ⎠
                         αn                                                     αn
Подставляя эти выражения в (14.2) и сокращая на eλt, получим
 ⎛           ⎞            ⎛             ⎞                        ⎛          ⎞
 ⎜
 ⎜
     λ α1     ⎟
              ⎟
                          ⎜
                          ⎜
                                α1  ⎟
                                    ⎟
                                                                 ⎜
                                                                 ⎜
                                                                     α1  ⎟
                                                                         ⎟
 ⎜            ⎟           ⎜         ⎟                            ⎜       ⎟
 ⎜            ⎟           ⎜         ⎟                            ⎜       ⎟
 ⎜
 ⎜   λα     2 ⎟
              ⎟
                          ⎜
                          ⎜     α 2 ⎟
                                    ⎟
                                                                 ⎜
                                                                 ⎜   α 2 ⎟
                                                                         ⎟
 ⎜
 ⎜
              ⎟
              ⎟   =A      ⎜
                          ⎜
                                    ⎟
                                    ⎟       или     (A − λ E)    ⎜
                                                                 ⎜
                                                                         ⎟
                                                                         ⎟      = 0,
 ⎜   ....     ⎟           ⎜     ....⎟                            ⎜   ....⎟
 ⎜            ⎟           ⎜         ⎟                            ⎜       ⎟
 ⎜            ⎟           ⎜         ⎟                            ⎜       ⎟
 ⎝            ⎠           ⎝         ⎠                            ⎝       ⎠
     λ αn                       αn                                   αn
                                                    102